弹性力学:能量法

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弹性力学:能量法 [2025/12/08 13:15] – [1.1 一维情况] 张叶安弹性力学:能量法 [2025/12/08 13:20] (当前版本) – [7. 扩展知识：泛函与变分法] 张叶安
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 **引入广义胡克定律后**，可以分别用应力或应变表示： **引入广义胡克定律后**，可以分别用应力或应变表示：
-*   **用应力表示**:+  *   **用应力表示**:
     $$ U_0 = \frac{1}{2E} (\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2) - \frac{\nu}{E} (\sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_z + \sigma_z \sigma_x) + \frac{1}{2G} (\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2) $$     $$ U_0 = \frac{1}{2E} (\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2) - \frac{\nu}{E} (\sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_z + \sigma_z \sigma_x) + \frac{1}{2G} (\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2) $$
-*   **用应变表示** (引入拉梅常数 $\lambda$ 和 $G$): +  *   **用应变表示** (引入拉梅常数 $\lambda$ 和 $G$): 
-    $$ U_0 = \frac{1}{2} [\lambda e^2 + 2G (\epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2) + G (\gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2)] $$ + 
-    *(注: $e$ 为体应变 $e = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z$)*+$$ U_0 = \frac{1}{2} [\lambda e^2 + 2G (\epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2) + G (\gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2)] $$ 
 + 
 +  *(注: $e$ 为体应变 $e = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z$)* 
  
-<note important> 
 **重要性质**: 由公式可见，对于稳定的弹性材料，$U_0$ 恒为正值（正定性）。 **重要性质**: 由公式可见，对于稳定的弹性材料，$U_0$ 恒为正值（正定性）。
-</note>+
  
 ==== 1.3 应变能密度的导数关系 ==== ==== 1.3 应变能密度的导数关系 ====
  
 应变能函数 $U_0$ 是一个势函数。 应变能函数 $U_0$ 是一个势函数。
-*   对**应变**求偏导，得到对应的**应力**： +  *   对**应变**求偏导，得到对应的**应力**： 
-    $$ \frac{\partial U_0(\epsilon_{ij})}{\partial \epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} $$ +$$ \frac{\partial U_0(\epsilon_{ij})}{\partial \epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} $$ 
-*   对**应力**求偏导，得到对应的**应变**： +  *   对**应力**求偏导，得到对应的**应变**： 
-    $$ \frac{\partial U_0(\sigma_{ij})}{\partial \sigma_{ij}} = \epsilon_{ij} $$+$$ \frac{\partial U_0(\sigma_{ij})}{\partial \sigma_{ij}} = \epsilon_{ij} $$
  
 这表明弹性变形能又称为**弹性势**。 这表明弹性变形能又称为**弹性势**。
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 $$ \delta W = \delta U $$ $$ \delta W = \delta U $$
  
-*   **什么是虚位移 ($\delta u, \delta v, \delta w$)？**+  *   **什么是虚位移 ($\delta u, \delta v, \delta w$)？**
     *   它是假想的、微小的位移。     *   它是假想的、微小的位移。
     *   它必须满足几何约束条件（即在几何边界 $S_u$ 上，$\delta u = 0$）。     *   它必须满足几何约束条件（即在几何边界 $S_u$ 上，$\delta u = 0$）。
行 68: 行 70:
  
 **数学表达式**: **数学表达式**:
-*   **虚应变能**: $\delta U = \iiint_V \sigma_{ij} \delta \epsilon_{ij} \text{d}V$ +  *   **虚应变能**: $\delta U = \iiint_V \sigma_{ij} \delta \epsilon_{ij} \text{d}V$ 
-*   **外力虚功**: $\delta W = \iiint_V F_{bi} \delta u_i \text{d}V + \iint_{S_\sigma} p_i \delta u_i \text{d}S$+  *   **外力虚功**: $\delta W = \iiint_V F_{bi} \delta u_i \text{d}V + \iint_{S_\sigma} p_i \delta u_i \text{d}S$
     *   第一项是体力 ($F_b$) 做功。     *   第一项是体力 ($F_b$) 做功。
     *   第二项是面力 ($p$) 在应力边界 $S_\sigma$ 上做功。     *   第二项是面力 ($p$) 在应力边界 $S_\sigma$ 上做功。
行 84: 行 86:
 **总势能 ($\Pi_p$ 或 $E_t$) 定义**: **总势能 ($\Pi_p$ 或 $E_t$) 定义**:
 $$ \Pi_p = U - W = \iiint_V U_0(\epsilon_{ij}) \text{d}V - \left( \iiint_V F_{bi} u_i \text{d}V + \iint_{S_\sigma} p_i u_i \text{d}S \right) $$ $$ \Pi_p = U - W = \iiint_V U_0(\epsilon_{ij}) \text{d}V - \left( \iiint_V F_{bi} u_i \text{d}V + \iint_{S_\sigma} p_i u_i \text{d}S \right) $$
-*(注：这里 $W$ 视为外力势能的减少)*+ 
 +**(注：这里 $W$ 视为外力势能的减少)**
  
 **原理表述**: **原理表述**:
行 91: 行 94:
 $$ \delta \Pi_p = \delta (U - W) = 0 $$ $$ \delta \Pi_p = \delta (U - W) = 0 $$
  
-*   这是一个**变分问题**。 +  *   这是一个**变分问题**。 
-*   它将求解微分方程的问题转化为了寻找泛函极值的问题。+  *   它将求解微分方程的问题转化为了寻找泛函极值的问题。
  
 ===== 4. 瑞利-里兹法 (Rayleigh-Ritz Method) ===== ===== 4. 瑞利-里兹法 (Rayleigh-Ritz Method) =====
行 102: 行 105:
   - **1. 假设位移函数**:   - **1. 假设位移函数**:
     选取一组包含待定系数 ($a_k, b_k, c_k$) 的函数来近似真实的位移场。     选取一组包含待定系数 ($a_k, b_k, c_k$) 的函数来近似真实的位移场。
-    $$ u(x) \approx u_0 + \sum_{k=1}^n a_k u_k(x) $$ +     
-    $$ v(x) \approx v_0 + \sum_{k=1}^n b_k v_k(x) $$ +$$ u(x) \approx u_0 + \sum_{k=1}^n a_k u_k(x) $$ 
-    <note warning> + 
-    **关键点**: 选取的位移函数必须满足**位移边界条件** (几何边界条件)。不必满足力的边界条件，也不必满足平衡方程。 +$$ v(x) \approx v_0 + \sum_{k=1}^n b_k v_k(x) $$ 
-    </note>+     
 +**关键点**: 选取的位移函数必须满足**位移边界条件** (几何边界条件)。不必满足力的边界条件，也不必满足平衡方程。 
 +    
  
   - **2. 表达总势能**:   - **2. 表达总势能**:
-    利用几何方程（求应变）和物理方程（求应力/应变能），将总势能 $\Pi_p$ 表示为这些待定系数的函数： + 
-    $$ \Pi_p = f(a_1, ..., a_n, b_1, ..., b_n, ...) $$+利用几何方程（求应变）和物理方程（求应力/应变能），将总势能 $\Pi_p$ 表示为这些待定系数的函数： 
 + 
 +$$ \Pi_p = f(a_1, ..., a_n, b_1, ..., b_n, ...) $$
  
   - **3. 求解极值**:   - **3. 求解极值**:
-    根据最小势能原理，总势能取极小值，因此对每一个待定系数求偏导并令其为 0： + 
-    $$ \frac{\partial \Pi_p}{\partial a_k} = 0, \quad \frac{\partial \Pi_p}{\partial b_k} = 0, \quad ... $$+根据最小势能原理，总势能取极小值，因此对每一个待定系数求偏导并令其为 0： 
 + 
 +$$ \frac{\partial \Pi_p}{\partial a_k} = 0, \quad \frac{\partial \Pi_p}{\partial b_k} = 0, \quad ... $$
  
   - **4. 解代数方程组**:   - **4. 解代数方程组**:
-    上述步骤会得到一个关于系数的线性代数方程组。解出系数后，回代到位移函数中，即可得到近似解。+ 
 +上述步骤会得到一个关于系数的线性代数方程组。解出系数后，回代到位移函数中，即可得到近似解。
  
 ===== 5. 虚应力原理与最小余能原理 ===== ===== 5. 虚应力原理与最小余能原理 =====
行 129: 行 139:
  
 ==== 5.2 最小余能原理 (Principle of Minimum Complementary Energy) ==== ==== 5.2 最小余能原理 (Principle of Minimum Complementary Energy) ====
-*   **总余能 ($\Pi_c$)**: +  *   **总余能 ($\Pi_c$)**: 
-    $$ \Pi_c = U^* - W^* = \iiint_V U_0^*(\sigma_{ij}) \text{d}V - \iint_{S_u} \bar{u}_i p_i \text{d}S $$ + 
-    *(其中 $U_0^*$ 是余应变能密度)* +$$ \Pi_c = U^* - W^* = \iiint_V U_0^*(\sigma_{ij}) \text{d}V - \iint_{S_u} \bar{u}_i p_i \text{d}S $$ 
-*   **原理表述**: 在所有满足**平衡方程**和**力边界条件**的许可应力场中，**真实应力场使系统的总余能取极小值**。 + 
-    $$ \delta \Pi_c = 0 $$+*(其中 $U_0^*$ 是余应变能密度)* 
 +  *   **原理表述**: 在所有满足**平衡方程**和**力边界条件**的许可应力场中，**真实应力场使系统的总余能取极小值**。 
 + 
 +$$ \delta \Pi_c = 0 $$ 
 + 
  
-<note tip> 
 **对比总结**: **对比总结**:
-*   **最小势能原理**: 找位移 $u$，需满足几何协调，目标是总势能最小。 +  *   **最小势能原理**: 找位移 $u$，需满足几何协调，目标是总势能最小。 
-*   **最小余能原理**: 找应力 $\sigma$，需满足静力平衡，目标是总余能最小。 +  *   **最小余能原理**: 找应力 $\sigma$，需满足静力平衡，目标是总余能最小。 
-</note>+ 
  
 ===== 6. 伽辽金法 (Galerkin Method) ===== ===== 6. 伽辽金法 (Galerkin Method) =====
行 156: 行 171:
 **步骤**: **步骤**:
 1.  假设位移函数 $u_i \approx \sum a_k \phi_k(x)$。 1.  假设位移函数 $u_i \approx \sum a_k \phi_k(x)$。
 +
 2.  这里的试函数 $\phi_k$ 既要满足位移边界条件，最好也能满足应力边界条件（虽然不是强制，但能提高精度）。 2.  这里的试函数 $\phi_k$ 既要满足位移边界条件，最好也能满足应力边界条件（虽然不是强制，但能提高精度）。
 +
 3.  将假设代入平衡方程，得到残差。 3.  将假设代入平衡方程，得到残差。
 +
 4.  令残差与试函数正交（即积分为0），建立方程组求解 $a_k$。 4.  令残差与试函数正交（即积分为0），建立方程组求解 $a_k$。
  
行 164: 行 182:
 为了深入理解能量法，需要数学上的**变分法**基础。 为了深入理解能量法，需要数学上的**变分法**基础。
  
-*   **泛函 (Functional)**: 简单的说，就是“函数的函数”。+  *   **泛函 (Functional)**: 简单的说，就是“函数的函数”。
     *   普通函数: $y = f(x)$ (输入一个数，输出一个数)。     *   普通函数: $y = f(x)$ (输入一个数，输出一个数)。
     *   泛函: $J = J[y(x)]$ (输入一个函数曲线，输出一个数值)。     *   泛函: $J = J[y(x)]$ (输入一个函数曲线，输出一个数值)。
     *   **例子**: 最速降线问题中，时间 $T$ 是路径曲线 $y(x)$ 的泛函。     *   **例子**: 最速降线问题中，时间 $T$ 是路径曲线 $y(x)$ 的泛函。
-*   **变分 ($\delta$)**:+  *   **变分 ($\delta$)**:
     *   函数的微分 $dy$: 自变量 $x$ 变化微小量 $dx$ 引起的函数值变化。     *   函数的微分 $dy$: 自变量 $x$ 变化微小量 $dx$ 引起的函数值变化。
     *   泛函的变分 $\delta J$: 函数形式 $y(x)$ 发生微小改变 $\delta y$ (虚位移) 引起的泛函值变化。     *   泛函的变分 $\delta J$: 函数形式 $y(x)$ 发生微小改变 $\delta y$ (虚位移) 引起的泛函值变化。
-*   **极值条件**:+  *   **极值条件**:
     *   函数极值: $dy/dx = 0$。     *   函数极值: $dy/dx = 0$。
     *   泛函极值: $\delta J = 0$ (这就是为什么最小势能原理写成 $\delta \Pi_p = 0$)。     *   泛函极值: $\delta J = 0$ (这就是为什么最小势能原理写成 $\delta \Pi_p = 0$)。
行 186: 行 204:
 | | **(能量) 泛函** | | | | **(能量) 泛函** | |
  
-*   **瑞利-里兹法** 直接基于 **最小势能原理 (泛函)**。 +  *   **瑞利-里兹法** 直接基于 **最小势能原理 (泛函)**。 
-*   **伽辽金法** 基于 **加权余量法**，但在弹性力学自伴随算子的情况下，它与瑞利-里兹法是等价的。 +  *   **伽辽金法** 基于 **加权余量法**，但在弹性力学自伴随算子的情况下，它与瑞利-里兹法是等价的。 
-*   **有限元法 (FEM)** 本质上就是**分段定义插值函数**的瑞利-里兹法或伽辽金法。它将复杂的全域函数简化为简单的单元形状函数（如线性、二次多项式），从而极大地简化了计算。+  *   **有限元法 (FEM)** 本质上就是**分段定义插值函数**的瑞利-里兹法或伽辽金法。它将复杂的全域函数简化为简单的单元形状函数（如线性、二次多项式），从而极大地简化了计算。
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