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--- 弹性力学:弹性力学的一般原理 [2025/12/05 13:41] – [2. 解的唯一性定理 (Uniqueness Theorem)] 张叶安
+++ 弹性力学:弹性力学的一般原理 [2025/12/05 13:42] (当前版本) – [3. 线性叠加原理 (Principle of Superposition)] 张叶安
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 **适用条件：**
 .  **线弹性**材料（服从胡克定律）。
 .  **小变形**假设（平衡方程建立在变形前的几何形状上）。
 **原理表述：**
 如果物体同时受到几组载荷（体力、面力）的作用，那么物体内引起的应力、应变和位移，等于每一组载荷单独作用时所引起的应力、应变和位移的**代数和**（或矢量和）。
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 设物体受到两组载荷作用：
-*   第一组：体力 $F_{bi}$，面力 $p_i$，产生应力 $\sigma_{ij}$
+  *   第一组：体力 $F_{bi}$，面力 $p_i$，产生应力 $\sigma_{ij}$
-*   第二组：体力 $F'_{bi}$，面力 $p'_i$，产生应力 $\sigma'_{ij}$
+  *   第二组：体力 $F'_{bi}$，面力 $p'_i$，产生应力 $\sigma'_{ij}$
 .  **平衡方程的线性性**：
-    $$ \sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0 $$
-    $$ \sigma'_{ij,j} + F'_{bi} = 0 $$
+$$ \sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0 $$
-    两式相加：
-    $$ (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})_{,j} + (F_{bi} + F'_{bi}) = 0 $$
+$$ \sigma'_{ij,j} + F'_{bi} = 0 $$
-    说明**合应力**满足在**合体力**作用下的平衡方程。
+两式相加：
+$$ (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})_{,j} + (F_{bi} + F'_{bi}) = 0 $$
+说明**合应力**满足在**合体力**作用下的平衡方程。
 .  **边界条件的线性性**：
-    $$ p_i = \sigma_{ij} n_j $$
-    $$ p'_i = \sigma'_{ij} n_j $$
+$$ p_i = \sigma_{ij} n_j $$
-    两式相加：
-    $$ (p_i + p'_i) = (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij}) n_j $$
-    说明**合应力**满足在**合面力**作用下的边界条件。
+$$ p'_i = \sigma'_{ij} n_j $$
+两式相加：
+$$ (p_i + p'_i) = (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij}) n_j $$
+说明**合应力**满足在**合面力**作用下的边界条件。
 .  **结论**：
-    同理，几何方程和物理方程（胡克定律）都是线性方程。因此，$(\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})$ 必然是满足由合载荷 $(p_i + p'_i)$ 和 $(F_{bi} + F'_{bi})$ 构成的边值问题的解。
+同理，几何方程和物理方程（胡克定律）都是线性方程。因此，$(\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})$ 必然是满足由合载荷 $(p_i + p'_i)$ 和 $(F_{bi} + F'_{bi})$ 构成的边值问题的解。
-    **证毕。**
+**证毕。**

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