弹性力学:弹性力学的一般原理

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弹性力学:弹性力学的一般原理 [2025/12/05 13:40] – [1. 圣维南原理 (Saint-Venant's Principle)] 张叶安弹性力学:弹性力学的一般原理 [2025/12/05 13:42] (当前版本) – [3. 线性叠加原理 (Principle of Superposition)] 张叶安
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 **定理表述：** **定理表述：**
 +
 在小变形条件下，对于受一组平衡力系作用的物体，如果给定了边界条件（位移边界、力边界或混合边界），则其应力和应变的解是**唯一**的。 在小变形条件下，对于受一组平衡力系作用的物体，如果给定了边界条件（位移边界、力边界或混合边界），则其应力和应变的解是**唯一**的。
-*(注：位移的解包含6个表征刚体位移的任意常数，但在确定了约束条件排除刚体位移后，位移解也是唯一的。)*+ 
 +  *(注：位移的解包含6个表征刚体位移的任意常数，但在确定了约束条件排除刚体位移后，位移解也是唯一的。)*
  
 **证明过程：** **证明过程：**
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 2.  **构造差量**： 2.  **构造差量**：
-    定义差量状态： + 
-    $$ \sigma_{ij}^* = \sigma_{ij}^{(1)} - \sigma_{ij}^{(2)} $$ +定义差量状态： 
-    $$ u_i^* = u_i^{(1)} - u_i^{(2)} $$+ 
 +$$ \sigma_{ij}^* = \sigma_{ij}^{(1)} - \sigma_{ij}^{(2)} $$ 
 + 
 +$$ u_i^* = u_i^{(1)} - u_i^{(2)} $$
  
 3.  **满足方程**： 3.  **满足方程**：
-    由于 $\sigma_{ij}^{(1)}$ 和 $\sigma_{ij}^{(2)}$ 都满足平衡方程和协调方程，且体力 $F_{bi}$ 相同。 + 
-    代入平衡方程 $\sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0$ 相减得： +由于 $\sigma_{ij}^{(1)}$ 和 $\sigma_{ij}^{(2)}$ 都满足平衡方程和协调方程，且体力 $F_{bi}$ 相同。 
-    $$ \sigma_{ij,j}^* = 0 $$ + 
-    这表明差量状态对应于**无体力**的状态。+代入平衡方程 $\sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0$ 相减得： 
 + 
 +$$ \sigma_{ij,j}^* = 0 $$ 
 + 
 +这表明差量状态对应于**无体力**的状态。
  
 4.  **满足边界条件**： 4.  **满足边界条件**：
-    设边界条件为 $\sigma_{ij}^{(1)} n_j = P_i$ 和 $\sigma_{ij}^{(2)} n_j = P_i$（在力边界上）。 + 
-    相减得： +设边界条件为 $\sigma_{ij}^{(1)} n_j = P_i$ 和 $\sigma_{ij}^{(2)} n_j = P_i$（在力边界上）。 
-    $$ \sigma_{ij}^* n_j = 0 $$ + 
-    这表明差量状态对应于**无面力**的状态。+相减得： 
 + 
 +$$ \sigma_{ij}^* n_j = 0 $$ 
 + 
 +这表明差量状态对应于**无面力**的状态。
  
 5.  **能量分析与结论**： 5.  **能量分析与结论**：
-    差量状态 $\sigma_{ij}^*$ 对应于一个**无体力、无面力**的自然状态。 + 
-    根据物理定义，无外力作用的自然状态下，物体内部无应力、无应变（忽略残余应力）。 +差量状态 $\sigma_{ij}^*$ 对应于一个**无体力、无面力**的自然状态。 
-    因此，在全部体积内必有： + 
-    $$ \sigma_{ij}^* = 0 \implies \sigma_{ij}^{(1)} = \sigma_{ij}^{(2)} $$+根据物理定义，无外力作用的自然状态下，物体内部无应力、无应变（忽略残余应力）。 
 + 
 +因此，在全部体积内必有： 
 + 
 +$$ \sigma_{ij}^* = 0 \implies \sigma_{ij}^{(1)} = \sigma_{ij}^{(2)} $$
          
-    **证毕。**+ 
 +**证毕。**
  
 ==== 3. 线性叠加原理 (Principle of Superposition) ==== ==== 3. 线性叠加原理 (Principle of Superposition) ====
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 **适用条件：** **适用条件：**
 +
 1.  **线弹性**材料（服从胡克定律）。 1.  **线弹性**材料（服从胡克定律）。
 +
 2.  **小变形**假设（平衡方程建立在变形前的几何形状上）。 2.  **小变形**假设（平衡方程建立在变形前的几何形状上）。
  
 **原理表述：** **原理表述：**
 +
 如果物体同时受到几组载荷（体力、面力）的作用，那么物体内引起的应力、应变和位移，等于每一组载荷单独作用时所引起的应力、应变和位移的**代数和**（或矢量和）。 如果物体同时受到几组载荷（体力、面力）的作用，那么物体内引起的应力、应变和位移，等于每一组载荷单独作用时所引起的应力、应变和位移的**代数和**（或矢量和）。
  
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 设物体受到两组载荷作用： 设物体受到两组载荷作用：
-*   第一组：体力 $F_{bi}$，面力 $p_i$，产生应力 $\sigma_{ij}$ +  *   第一组：体力 $F_{bi}$，面力 $p_i$，产生应力 $\sigma_{ij}$ 
-*   第二组：体力 $F'_{bi}$，面力 $p'_i$，产生应力 $\sigma'_{ij}$+  *   第二组：体力 $F'_{bi}$，面力 $p'_i$，产生应力 $\sigma'_{ij}$
  
 1.  **平衡方程的线性性**： 1.  **平衡方程的线性性**：
-    $$ \sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0 $$ + 
-    $$ \sigma'_{ij,j} + F'_{bi} = 0 $$ +$$ \sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0 $$ 
-    两式相加： + 
-    $$ (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})_{,j} + (F_{bi} + F'_{bi}) = 0 $$ +$$ \sigma'_{ij,j} + F'_{bi} = 0 $$ 
-    说明**合应力**满足在**合体力**作用下的平衡方程。+ 
 +两式相加： 
 + 
 +$$ (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})_{,j} + (F_{bi} + F'_{bi}) = 0 $$ 
 + 
 +说明**合应力**满足在**合体力**作用下的平衡方程。
  
 2.  **边界条件的线性性**： 2.  **边界条件的线性性**：
-    $$ p_i = \sigma_{ij} n_j $$ + 
-    $$ p'_i = \sigma'_{ij} n_j $$ +$$ p_i = \sigma_{ij} n_j $$ 
-    两式相加： + 
-    $$ (p_i + p'_i) = (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij}) n_j $$ + 
-    说明**合应力**满足在**合面力**作用下的边界条件。+$$ p'_i = \sigma'_{ij} n_j $$ 
 + 
 +两式相加： 
 + 
 +$$ (p_i + p'_i) = (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij}) n_j $$ 
 + 
 +说明**合应力**满足在**合面力**作用下的边界条件。
  
 3.  **结论**： 3.  **结论**：
-    同理，几何方程和物理方程（胡克定律）都是线性方程。因此，$(\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})$ 必然是满足由合载荷 $(p_i + p'_i)$ 和 $(F_{bi} + F'_{bi})$ 构成的边值问题的解。+  
 +同理，几何方程和物理方程（胡克定律）都是线性方程。因此，$(\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})$ 必然是满足由合载荷 $(p_i + p'_i)$ 和 $(F_{bi} + F'_{bi})$ 构成的边值问题的解。 
  
-    **证毕。**+**证毕。**
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  • 由 张叶安