弹性力学:弹性体力学问题的建立

差别

这里会显示出您选择的修订版和当前版本之间的差别。

到此差别页面的链接

两侧同时换到之前的修订记录 前一修订版
后一修订版		 前一修订版
弹性力学:弹性体力学问题的建立 [2025/12/05 13:33] – [4. 思考] 张叶安弹性力学:弹性体力学问题的建立 [2025/12/05 13:35] (当前版本) – [5. 物理意义总结] 张叶安
行 178: 行 178:
 $$ $$
  
-<note tip>+
 **验证平衡方程：** **验证平衡方程：**
 +
 将上述定义代入第一个平衡方程： 将上述定义代入第一个平衡方程：
 +
 $$ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y}\right) = \frac{\partial^3 \phi}{\partial x \partial y^2} - \frac{\partial^3 \phi}{\partial x \partial y^2} \equiv 0 $$ $$ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y}\right) = \frac{\partial^3 \phi}{\partial x \partial y^2} - \frac{\partial^3 \phi}{\partial x \partial y^2} \equiv 0 $$
 +
 同理可验证第二个平衡方程也恒成立。 同理可验证第二个平衡方程也恒成立。
-</note>+
  
 ==== 2. 求解方程：双调和方程 ==== ==== 2. 求解方程：双调和方程 ====
行 190: 行 193:
  
 在二维问题中，Beltrami-Michell 协调方程简化为： 在二维问题中，Beltrami-Michell 协调方程简化为：
 +
 $$ \nabla^2 (\sigma_x + \sigma_y) = 0 $$ $$ \nabla^2 (\sigma_x + \sigma_y) = 0 $$
-*(注：此式适用于不计体力且物体为单连通域的情况)*+ 
 +  * (注：此式适用于不计体力且物体为单连通域的情况)*
  
 **推导过程：** **推导过程：**
 +
 1.  计算应力主不变量（第一不变量）： 1.  计算应力主不变量（第一不变量）：
-    $$ \sigma_x + \sigma_y = \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \phi = \nabla^2 \phi $$+ 
 +$$ \sigma_x + \sigma_y = \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \phi = \nabla^2 \phi $$ 
 2.  代入协调方程： 2.  代入协调方程：
-    $$ \nabla^2 (\nabla^2 \phi) = 0 $$+ 
 +$$ \nabla^2 (\nabla^2 \phi) = 0 $$
  
 **最终控制方程：** **最终控制方程：**
 +
 即**双调和方程 (Biharmonic Equation)**： 即**双调和方程 (Biharmonic Equation)**：
 +
 $$ \nabla^4 \phi = \frac{\partial^4 \phi}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 \phi}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4 \phi}{\partial y^4} = 0 $$ $$ \nabla^4 \phi = \frac{\partial^4 \phi}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 \phi}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4 \phi}{\partial y^4} = 0 $$
  
行 219: 行 230:
 由于直接解四阶偏微分方程 $\nabla^4 \phi = 0$ 非常困难，弹性力学中常采用**逆解法**。 由于直接解四阶偏微分方程 $\nabla^4 \phi = 0$ 非常困难，弹性力学中常采用**逆解法**。
  
-*   **思路：** 预先设定 $\phi$ 为某种形式的函数（通常是多项式），验证它是否满足双调和方程。 +  *   **思路：** 预先设定 $\phi$ 为某种形式的函数（通常是多项式），验证它是否满足双调和方程。 
-*   **步骤：** +  *   **步骤：** 
-    1.  选取一个满足 $\nabla^4 \phi = 0$ 的多项式。 +  -  选取一个满足 $\nabla^4 \phi = 0$ 的多项式。 
-    2.  求出对应的应力分量 $\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$。 +  -  求出对应的应力分量 $\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$。 
-    3.  检查这些应力分量对应什么样的边界上的面力分布。 +  -  检查这些应力分量对应什么样的边界上的面力分布。 
-    4.  如果这正是我们需要解决的物理问题，则该解即为真解（根据唯一性定理）。+  -  如果这正是我们需要解决的物理问题，则该解即为真解（根据唯一性定理）。
  
 **常见的多项式尝试：** **常见的多项式尝试：**
行 235: 行 246:
 ==== 5. 物理意义总结 ==== ==== 5. 物理意义总结 ====
  
-*   **统一性：** 在不计体力且单连通域的情况下，平面应力问题和平面应变问题的控制方程都是 $\nabla^4 \phi = 0$。这意味着对于应力边界值问题，两种状态下的应力分布是相同的（与材料常数 $E, \nu$ 无关）。 +  *   **统一性：** 在不计体力且单连通域的情况下，平面应力问题和平面应变问题的控制方程都是 $\nabla^4 \phi = 0$。这意味着对于应力边界值问题，两种状态下的应力分布是相同的（与材料常数 $E, \nu$ 无关）。 
-*   **降维打击：** 将含有3个未知函数（$\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$）的方程组，转化为求解1个标量函数 $\phi$ 的问题。+  *   **降维打击：** 将含有3个未知函数（$\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$）的方程组，转化为求解1个标量函数 $\phi$ 的问题。
Detach Close

该主题尚不存在

您访问的页面并不存在。如果允许，您可以使用创建该页面按钮来创建它。

  • 弹性力学/弹性体力学问题的建立.1764912830.txt.gz
  • 最后更改: 2025/12/05 13:33
  • 由 张叶安