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| 弹性力学:应变分析 [2025/12/05 13:11] – [3. 第二组方程的证明（空间混合协调）] 张叶安 | 弹性力学:应变分析 [2025/12/05 13:12] (当前版本) – [3. 第二组方程的证明（空间混合协调）] 张叶安 | ||
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| 行 147: | 行 147: | ||
| $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} $$ | $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} $$ | ||
| - | ==== 3. 第二组方程的证明（空间混合协调） ==== | + | ==== 5.3. 第二组方程的证明（空间混合协调） ==== |
| 这组方程联系一个正应变和三个切应变。我们以 $\varepsilon_x$ 为例进行推导。 | 这组方程联系一个正应变和三个切应变。我们以 $\varepsilon_x$ 为例进行推导。 | ||
| - | === 3.1 构造目标项 === | + | === 5.3.1 构造目标项 === |
| 首先，对 $\varepsilon_x$ 关于 $y$ 和 $z$ 求混合偏导，并乘以 2（为了凑系数）： | 首先，对 $\varepsilon_x$ 关于 $y$ 和 $z$ 求混合偏导，并乘以 2（为了凑系数）： | ||
| $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = 2 \frac{\partial^2}{\partial y \partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} \quad \dots (4) $$ | $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = 2 \frac{\partial^2}{\partial y \partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} \quad \dots (4) $$ | ||
| - | === 3.2 构造切应变组合 === | + | === 5.3.2 构造切应变组合 === |
| 我们需要寻找切应变的某种导数组合，使其结果等于 (4) 式。考察以下三项导数： | 我们需要寻找切应变的某种导数组合，使其结果等于 (4) 式。考察以下三项导数： | ||
| 行 166: | 行 166: | ||
| $$ -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = -\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 v}{\partial z \partial x} $$ | $$ -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = -\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 v}{\partial z \partial x} $$ | ||
| - | === 3.3 组合与消元 === | + | === 5.3.3 组合与消元 === |
| 将上述三式相加： | 将上述三式相加： | ||
张叶安