弹性力学:应变分析

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弹性力学:应变分析 [2025/12/05 13:09] – [5.2. 第一组方程的证明（平面内协调）] 张叶安弹性力学:应变分析 [2025/12/05 13:12] (当前版本) – [3. 第二组方程的证明（空间混合协调）] 张叶安
行 147: 行 147:
 $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} $$ $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} $$
  
-==== 3. 第二组方程的证明（空间混合协调） ====+==== 5.3. 第二组方程的证明（空间混合协调） ====
  
 这组方程联系一个正应变和三个切应变。我们以 $\varepsilon_x$ 为例进行推导。 这组方程联系一个正应变和三个切应变。我们以 $\varepsilon_x$ 为例进行推导。
  
-=== 3.1 构造目标项 ===+=== 5.3.1 构造目标项 ===
  
 首先，对 $\varepsilon_x$ 关于 $y$ 和 $z$ 求混合偏导，并乘以 2（为了凑系数）： 首先，对 $\varepsilon_x$ 关于 $y$ 和 $z$ 求混合偏导，并乘以 2（为了凑系数）：
 $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = 2 \frac{\partial^2}{\partial y \partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} \quad \dots (4) $$ $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = 2 \frac{\partial^2}{\partial y \partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} \quad \dots (4) $$
  
-=== 3.2 构造切应变组合 ===+=== 5.3.2 构造切应变组合 ===
  
 我们需要寻找切应变的某种导数组合，使其结果等于 (4) 式。考察以下三项导数： 我们需要寻找切应变的某种导数组合，使其结果等于 (4) 式。考察以下三项导数：
  
-*   $$ \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} $$ +$$ \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} $$
-*   $$ \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} + \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} $$ +
-*   $$ -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = -\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 v}{\partial z \partial x} $$+
  
-=== 3.3 组合与消元 ===+$$ \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} + \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} $$ 
 + 
 +$$ -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = -\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 v}{\partial z \partial x} $$ 
 + 
 +=== 5.3.3 组合与消元 ===
  
 将上述三式相加： 将上述三式相加：
行 172: 行 174:
  
 由于混合偏导数相等，含 $v$ 和 $w$ 的项相互抵消，只剩下 $u$ 的项： 由于混合偏导数相等，含 $v$ 和 $w$ 的项相互抵消，只剩下 $u$ 的项：
 +
 $$ \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = 2 \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} $$ $$ \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = 2 \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} $$
  
行 177: 行 180:
  
 对上式两边同时关于 $x$ 求导： 对上式两边同时关于 $x$ 求导：
 +
 $$ \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} $$ $$ \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} $$
  
 对比 (4) 式，得证： 对比 (4) 式，得证：
 +
 $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$ $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$
  
 利用轮换下标法，可得另外两个方程： 利用轮换下标法，可得另外两个方程：
 +
 $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$ $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$
 +
 $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$ $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$
  
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  • 最后更改: 2025/12/05 13:09
  • 由 张叶安