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--- 弹性力学:应变分析 [2025/12/05 13:00] – 张叶安
+++ 弹性力学:应变分析 [2025/12/05 13:12] (当前版本) – [3. 第二组方程的证明（空间混合协调）] 张叶安
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 假设空间中一点 $P(x, y, z)$ 变形后移动到 $P'(x', y', z')$，其位移分量定义为：
-*   $x$ 方向位移：$u = u(x, y, z)$
+  *   $x$ 方向位移：$u = u(x, y, z)$
-*   $y$ 方向位移：$v = v(x, y, z)$
+  *   $y$ 方向位移：$v = v(x, y, z)$
-*   $z$ 方向位移：$w = w(x, y, z)$
+  *   $z$ 方向位移：$w = w(x, y, z)$
 **小变形假设 (Small Deformation Theory)：**
@@ 行 29: / 行 29: @@
 ==== 3.1 二维情况 ====
-*   **正应变：**
+  *   **正应变：**
-    $$ \varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x} $$
+$$ \varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x} $$
-    $$ \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y} $$
+$$ \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y} $$
-*   **切应变（工程切应变）：**
+  *   **切应变（工程切应变）：**
-    $$ \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} $$
+$$ \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} $$
 ==== 3.2 三维情况 ====
@@ 行 52: / 行 52: @@
 为了便于数学处理（如坐标变换），引入张量记法。
 **注意：** 张量剪应变 ($\varepsilon_{ij}$) 与工程剪应变 ($\gamma_{ij}$) 存在系数 $\frac{1}{2}$ 的差异。
@@ 行 76: / 行 77: @@
 $$
-<note important>
 **易错点提示：** 在使用张量运算公式（如主应变计算、坐标变换）时，切应力项必须使用 $\frac{1}{2}\gamma$；而在物理概念和胡克定律的某些形式中，常直接使用 $\gamma$。
-</note>
 ===== 5. 变形协调方程 (Compatibility Equations) =====
@@ 行 88: / 行 89: @@
 .  **涉及正应变与切应变的二阶导数关系：**
-    $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} $$
+$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} $$
-    $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} $$
+$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} $$
-    $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} $$
+$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} $$
 .  **涉及混合导数关系：**
-    $$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} (-\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$
+$$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} (-\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$
-    $$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$
+$$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$
-    $$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$
+$$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$
+变形协调方程（Compatibility Equations）是弹性力学中保证位移单值连续性的重要方程。以下是利用几何方程消去位移分量，从而导出应变协调方程的详细证明过程。
+==== 5.1. 预备知识：几何方程 ====
+证明的起点是柯西几何方程（应变-位移关系）。我们需要利用微分运算，从这 3 个位移分量定义的 6 个应变分量中，消去位移 $u, v, w$。
+**正应变定义：**
+$$ \varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \varepsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z} $$
+**工程切应变定义：**
+$$ \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \gamma_{yz} = \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}, \quad \gamma_{zx} = \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} $$
+**关键数学性质：** 证明过程中利用了混合偏导数与求导顺序无关的性质（假设位移函数连续且二阶可导），即：
+$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $$
+==== 5.2. 第一组方程的证明（平面内协调） ====
+这组方程主要联系平面内的正应变与切应变。我们以 $xOy$ 平面为例进行推导。
+=== 5.2.1 推导过程 ===
+.  **对 $\varepsilon_x$ 关于 $y$ 求两次偏导：**
+$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} = \frac{\partial^2}{\partial y^2} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y^2} \quad \dots (1) $$
+.  **对 $\varepsilon_y$ 关于 $x$ 求两次偏导：**
+$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{\partial v}{\partial y} \right) = \frac{\partial^3 v}{\partial y \partial x^2} \quad \dots (2) $$
+.  **对 $\gamma_{xy}$ 关于 $x$ 和 $y$ 各求一次偏导：**
+$$ \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial^3 v}{\partial y \partial x^2} + \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y^2} \quad \dots (3) $$
+.  **联立方程：**
+观察 (1)、(2)、(3) 式右端，显然有 (1) + (2) = (3)。
+=== 5.2.2 结论 ===
+即得第一个协调方程：
+$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} $$
+利用轮换下标法（$x \to y \to z \to x$），可直接写出另外两个方程：
+$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} $$
+$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} $$
+==== 5.3. 第二组方程的证明（空间混合协调） ====
+这组方程联系一个正应变和三个切应变。我们以 $\varepsilon_x$ 为例进行推导。
+=== 5.3.1 构造目标项 ===
+首先，对 $\varepsilon_x$ 关于 $y$ 和 $z$ 求混合偏导，并乘以 2（为了凑系数）：
+$$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = 2 \frac{\partial^2}{\partial y \partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} \quad \dots (4) $$
+=== 5.3.2 构造切应变组合 ===
+我们需要寻找切应变的某种导数组合，使其结果等于 (4) 式。考察以下三项导数：
+$$ \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} $$
+$$ \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} + \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} $$
+$$ -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = -\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 v}{\partial z \partial x} $$
+=== 5.3.3 组合与消元 ===
+将上述三式相加：
+$$ \text{左边} = \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} $$
+$$ \text{右边} = \left( \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} + \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} \right) + \underbrace{\left( \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 v}{\partial z \partial x} \right)}_{0} + \underbrace{\left( \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x} \right)}_{0} $$
+由于混合偏导数相等，含 $v$ 和 $w$ 的项相互抵消，只剩下 $u$ 的项：
+$$ \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = 2 \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} $$
+=== 3.4 最终求导 ===
+对上式两边同时关于 $x$ 求导：
+$$ \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} $$
+对比 (4) 式，得证：
+$$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$
+利用轮换下标法，可得另外两个方程：
+$$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$
+$$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$
+==== 4. 总结 ====
+至此，6 个变形协调方程全部得证。
+^ 组别 ^ 方程特点 ^ 物理意义 ^
+| **第一组** | 涉及 2 个正应变，1 个切应变 | 保证平面内的变形连续性 |
+| **第二组** | 涉及 1 个正应变，3 个切应变 | 保证空间层面的剪切变形协调 |
+在单连通域内，满足这 6 个方程是应变分量能够积分为连续位移场的**充分必要条件**。
+==== 扩展：张量表示法（供参考） ====
+如果使用张量记法，上述 6 个方程可以紧凑地写为一个方程（圣维南张量方程）：
+$$ \epsilon_{ij,kl} + \epsilon_{kl,ij} - \epsilon_{ik,jl} - \epsilon_{jl,ik} = 0 $$
+或者使用置换符号（Levi-Civita symbol）表示为旋度的旋度为零：
+$$ \nabla \times \boldsymbol{\varepsilon} \times \nabla = \mathbf{0} \quad \text{或} \quad e_{imp} e_{jnq} \varepsilon_{ij,pq} = 0 $$
 ===== 6. 主应变 (Principal Strains) =====
@@ 行 109: / 行 225: @@
 其中 $I_1, I_2, I_3$ 为**应变不变量**（无论坐标系如何旋转，这些值不变）：
-*   **第一不变量 (体积应变)：**
+  *   **第一不变量 (体积应变)：**
-    $$ I_1 = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$
+$$ I_1 = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$
-*   **第二不变量：**
+  *   **第二不变量：**
-    $$ I_2 = \varepsilon_x \varepsilon_y + \varepsilon_y \varepsilon_z + \varepsilon_z \varepsilon_x - (\varepsilon_{xy}^2 + \varepsilon_{yz}^2 + \varepsilon_{zx}^2) $$
+$$ I_2 = \varepsilon_x \varepsilon_y + \varepsilon_y \varepsilon_z + \varepsilon_z \varepsilon_x - (\varepsilon_{xy}^2 + \varepsilon_{yz}^2 + \varepsilon_{zx}^2) $$
-*   **第三不变量：**
+  *   **第三不变量：**
-    $$ I_3 = \det(\varepsilon_{ij}) $$
+$$ I_3 = \det(\varepsilon_{ij}) $$
 ==== 6.2 极值切应变 ====
@@ 行 127: / 行 243: @@
 其构造方法与应力莫尔圆类似，但需注意坐标轴的定义：
-*   横轴：正应变 $\varepsilon$
+  *   横轴：正应变 $\varepsilon$
-*   纵轴：**半切应变** $\frac{\gamma}{2}$ (或 $\varepsilon_{xy}$)
+  *   纵轴：**半切应变** $\frac{\gamma}{2}$ (或 $\varepsilon_{xy}$)
-<note tip>
-**记忆口诀：** 应力圆用 $\tau$，应变圆用 $\gamma/2$。
-</note>
-===== 8. 典型习题解析 (扩展) =====
+**记忆口诀：** 应力圆用 $\tau$，应变圆用 $\gamma/2$。
-==== 习题 3-1：已知位移求应变 ====
-**思路：** 直接利用几何方程进行偏微分运算。
-例如，若 $u = 3x^2$，则 $\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x} = 6x$。
-==== 习题 3-4：判断应变状态是否可能 ====
-**思路：** 将给定的应变函数代入**变形协调方程**。
-*   如果满足所有协调方程，则该应变状态物理上是可能的。
-*   如果不满足（例如等式左边不等于右边），则该应变场不可能存在于连续体中。
-==== 习题 3-5：纯剪切状态 ====
-在纯剪切状态下，主应变方向通常与剪切面成 $45^\circ$ 角，且 $\varepsilon_1 = -\varepsilon_2 = \frac{1}{2}\gamma_{xy}$。

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