弹性力学:应力和应变的关系

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弹性力学:应力和应变的关系 [2025/12/05 13:18] – 创建 张叶安弹性力学:应力和应变的关系 [2025/12/05 13:20] (当前版本) – 张叶安
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 其中： 其中：
-* $E$：杨氏模量 (Young's Modulus) +  * $E$：杨氏模量 (Young's Modulus) 
-* $\nu$：泊松比 (Poisson's Ratio) +  * $\nu$：泊松比 (Poisson's Ratio) 
-* $G$：剪切模量 (Shear Modulus)，且 $G = \frac{E}{2(1+\nu)}$+  * $G$：剪切模量 (Shear Modulus)，且 $G = \frac{E}{2(1+\nu)}$
  
 **张量形式 (Tensor Notation):** **张量形式 (Tensor Notation):**
行 46: 行 46:
 $$ $$
  
-<note>+
 注意：在张量形式中，切应变通常定义为 $\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\gamma_{ij}$，因此系数中出现了 $1+\nu$ 而不是直接除以 $G$（因为 $\frac{1}{G} = \frac{2(1+\nu)}{E}$）。 注意：在张量形式中，切应变通常定义为 $\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\gamma_{ij}$，因此系数中出现了 $1+\nu$ 而不是直接除以 $G$（因为 $\frac{1}{G} = \frac{2(1+\nu)}{E}$）。
-</note>+
  
 === 2. 应力形式的推导 (Derivation of Stress Form) === === 2. 应力形式的推导 (Derivation of Stress Form) ===
行 57: 行 57:
  
 将应变形式的三个正应变方程相加： 将应变形式的三个正应变方程相加：
 +
 $$ \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z = \frac{1}{E} [(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) - 2\nu(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)] $$ $$ \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z = \frac{1}{E} [(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) - 2\nu(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)] $$
  
 令 **体积应变** $\theta$ (或 $e$) 和 **体积应力** (第一应力不变量) $\Theta$ 分别为： 令 **体积应变** $\theta$ (或 $e$) 和 **体积应力** (第一应力不变量) $\Theta$ 分别为：
 +
 $$ \theta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$ $$ \theta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$
 +
 $$ \Theta = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z $$ $$ \Theta = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z $$
  
 代入上式整理得： 代入上式整理得：
 +
 $$ \theta = \frac{1-2\nu}{E} \Theta \quad \Rightarrow \quad \Theta = \frac{E}{1-2\nu}\theta \quad \dots (1) $$ $$ \theta = \frac{1-2\nu}{E} \Theta \quad \Rightarrow \quad \Theta = \frac{E}{1-2\nu}\theta \quad \dots (1) $$
  
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 取 $\varepsilon_x$ 的原始方程： 取 $\varepsilon_x$ 的原始方程：
 +
 $$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z)] $$ $$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z)] $$
  
 利用 $\sigma_y + \sigma_z = \Theta - \sigma_x$ 进行代换： 利用 $\sigma_y + \sigma_z = \Theta - \sigma_x$ 进行代换：
 +
 $$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\Theta - \sigma_x)] = \frac{1}{E} [(1+\nu)\sigma_x - \nu\Theta] $$ $$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\Theta - \sigma_x)] = \frac{1}{E} [(1+\nu)\sigma_x - \nu\Theta] $$
  
 将 (1) 式中的 $\Theta$ 代入： 将 (1) 式中的 $\Theta$ 代入：
 +
 $$ \varepsilon_x = \frac{1+\nu}{E}\sigma_x - \frac{\nu}{E} \cdot \frac{E}{1-2\nu}\theta $$ $$ \varepsilon_x = \frac{1+\nu}{E}\sigma_x - \frac{\nu}{E} \cdot \frac{E}{1-2\nu}\theta $$
  
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 整理上述方程： 整理上述方程：
 +
 $$ \frac{1+\nu}{E}\sigma_x = \varepsilon_x + \frac{\nu}{1-2\nu}\theta $$ $$ \frac{1+\nu}{E}\sigma_x = \varepsilon_x + \frac{\nu}{1-2\nu}\theta $$
 +
 $$ \sigma_x = \frac{E}{1+\nu}\varepsilon_x + \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\theta $$ $$ \sigma_x = \frac{E}{1+\nu}\varepsilon_x + \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\theta $$
  
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 **拉梅常数形式 (Lamé Constants Form):** **拉梅常数形式 (Lamé Constants Form):**
 +
 为了简化公式，引入拉梅常数 $\lambda$ 和 $\mu$： 为了简化公式，引入拉梅常数 $\lambda$ 和 $\mu$：
  
行 95: 行 105:
  
 则本构方程简化为： 则本构方程简化为：
 +
 $$ $$
 \begin{cases} \begin{cases}
行 110: 行 121:
  
 **常规参数形式:** **常规参数形式:**
 +
 直接使用 $E$ 和 $\nu$ 表示： 直接使用 $E$ 和 $\nu$ 表示：
  
行 115: 行 127:
 \sigma_x = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_x + \nu(\varepsilon_y + \varepsilon_z)] \sigma_x = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_x + \nu(\varepsilon_y + \varepsilon_z)]
 $$ $$
-*(注：此处利用了 $\theta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$ 展开整理)*+ 
 +  * (注：此处利用了 $\theta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$ 展开整理)*
  
 同理： 同理：
 +
 $$ \sigma_y = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_y + \nu(\varepsilon_x + \varepsilon_z)] $$ $$ \sigma_y = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_y + \nu(\varepsilon_x + \varepsilon_z)] $$
 +
 $$ \sigma_z = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_z + \nu(\varepsilon_x + \varepsilon_y)] $$ $$ \sigma_z = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_z + \nu(\varepsilon_x + \varepsilon_y)] $$
  
行 124: 行 139:
  
 **物理意义：** **物理意义：**
 +
 取微小六面体单元，其原始体积为 $V_0 = dxdydz$。变形后的体积 $V$ 略去高阶微量后，体积的变化率（体积应变）为： 取微小六面体单元，其原始体积为 $V_0 = dxdydz$。变形后的体积 $V$ 略去高阶微量后，体积的变化率（体积应变）为：
 +
 $$ \theta = \frac{V - V_0}{V_0} \approx \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$ $$ \theta = \frac{V - V_0}{V_0} \approx \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$
 +
 $\theta$ 代表了物体体积的相对变化。对于不可压缩材料（如橡胶），$\nu \approx 0.5$，此时 $\theta \approx 0$。 $\theta$ 代表了物体体积的相对变化。对于不可压缩材料（如橡胶），$\nu \approx 0.5$，此时 $\theta \approx 0$。
  
 **体积模量 (Bulk Modulus):** **体积模量 (Bulk Modulus):**
 +
 定义 **平均应力** (Mean Stress) $\sigma_m$ 为三个正应力的平均值： 定义 **平均应力** (Mean Stress) $\sigma_m$ 为三个正应力的平均值：
 +
 $$ \sigma_m = \frac{1}{3}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) = \frac{1}{3}\Theta $$ $$ \sigma_m = \frac{1}{3}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) = \frac{1}{3}\Theta $$
  
 回顾推导过程中的公式 (1)： 回顾推导过程中的公式 (1)：
 +
 $$ \theta = \frac{1-2\nu}{E} \Theta = \frac{1-2\nu}{E} (3\sigma_m) $$ $$ \theta = \frac{1-2\nu}{E} \Theta = \frac{1-2\nu}{E} (3\sigma_m) $$
  
 整理得到平均应力与体积应变的关系： 整理得到平均应力与体积应变的关系：
 +
 $$ \sigma_m = \frac{E}{3(1-2\nu)} \theta $$ $$ \sigma_m = \frac{E}{3(1-2\nu)} \theta $$
  
 定义 **体积模量** $K$ 为： 定义 **体积模量** $K$ 为：
 +
 $$ K = \frac{\sigma_m}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} $$ $$ K = \frac{\sigma_m}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} $$
  
 即： 即：
 +
 $$ \sigma_m = K\theta $$ $$ \sigma_m = K\theta $$
  
-<note tip>+
 **扩展知识：热应力 (Thermal Stress)** **扩展知识：热应力 (Thermal Stress)**
 +
 如果考虑温度变化 $\Delta T$，广义胡克定律需要修正。由于热胀冷缩产生的正应变（各向同性）为 $\alpha \Delta T$，修正后的应变形式为： 如果考虑温度变化 $\Delta T$，广义胡克定律需要修正。由于热胀冷缩产生的正应变（各向同性）为 $\alpha \Delta T$，修正后的应变形式为：
 +
 $$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z)] + \alpha \Delta T $$ $$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z)] + \alpha \Delta T $$
 +
 其中 $\alpha$ 为线性热膨胀系数。 其中 $\alpha$ 为线性热膨胀系数。
-</note>+
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