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| 弹性力学:应力分析 [2025/12/04 13:28] – [5 三维应力摩尔圆 (3D Mohr's Circle)] 张叶安 | 弹性力学:应力分析 [2025/12/04 13:48] (当前版本) – [7 平衡微分方程 (Equilibrium Equations)] 张叶安 | ||
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| 行 126: | 行 126: | ||
| ==== 三维情况 (3D Stress State) ==== | ==== 三维情况 (3D Stress State) ==== | ||
| 在三维空间中，取一个**柯西四面体 (Cauchy Tetrahedron)**。斜面法向量为 $\vec{n} = (l, m, n)$ 或 $(l_1, l_2, l_3)$。 | 在三维空间中，取一个**柯西四面体 (Cauchy Tetrahedron)**。斜面法向量为 $\vec{n} = (l, m, n)$ 或 $(l_1, l_2, l_3)$。 | ||
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| **柯西公式 (Cauchy Formula)**： | **柯西公式 (Cauchy Formula)**： | ||
| 行 170: | 行 172: | ||
| 三维应力状态可以用三个摩尔圆来表示。 | 三维应力状态可以用三个摩尔圆来表示。 | ||
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| * 取主轴坐标系，应力分量为 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$。 | * 取主轴坐标系，应力分量为 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$。 | ||
| * 任意斜截面上的正应力 $\sigma_n$ 和剪应力 $\tau_n$ 必定落在三个圆围成的**阴影区域**内。 | * 任意斜截面上的正应力 $\sigma_n$ 和剪应力 $\tau_n$ 必定落在三个圆围成的**阴影区域**内。 | ||
| 行 207: | 行 213: | ||
| 研究微元体在体力 $f_i$ 作用下的平衡。 | 研究微元体在体力 $f_i$ 作用下的平衡。 | ||
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| 在微元体的各个面上，应力分量由于位置不同而发生微小变化（利用泰勒级数展开，保留一阶项）。 | 在微元体的各个面上，应力分量由于位置不同而发生微小变化（利用泰勒级数展开，保留一阶项）。 | ||
| 例如 $x$ 方向的平衡： | 例如 $x$ 方向的平衡： | ||
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| $$ \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} dx \right) dy dz - \sigma_x dy dz + \dots + f_x dx dy dz = 0 $$ | $$ \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} dx \right) dy dz - \sigma_x dy dz + \dots + f_x dx dy dz = 0 $$ | ||
| 行 225: | 行 235: | ||
| $$ \sigma_{ji, j} + f_i = 0 $$ | $$ \sigma_{ji, j} + f_i = 0 $$ | ||
| 其中下标 $j$ 后的逗号表示对坐标 $x_j$ 求偏导。这是弹性力学中最基本的方程之一，描述了应力场必须满足的平衡条件。 | 其中下标 $j$ 后的逗号表示对坐标 $x_j$ 求偏导。这是弹性力学中最基本的方程之一，描述了应力场必须满足的平衡条件。 | ||
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| + | 答：因为平衡方程用了泰勒展开，即高阶无穷小，高了一阶，所以体积不能忽略。 | ||
张叶安