弹性力学:应力分析

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弹性力学:应力分析 [2025/12/04 12:50] – [二维情况 (2D Plane Stress)] 张叶安弹性力学:应力分析 [2025/12/04 13:48] (当前版本) – [7 平衡微分方程 (Equilibrium Equations)] 张叶安
行 89: 行 89:
 则$i^{'}=\cos \theta i +\sin \theta j$，$j^{'}=-\sin \theta i +\cos \theta j$ 则$i^{'}=\cos \theta i +\sin \theta j$，$j^{'}=-\sin \theta i +\cos \theta j$
  
-$ -\sigma_x \cdot OB \cdot i-$$ \tau_{xy} \cdot OB \cdot j -$$ \tau_{yx} \cdot OC \cdot i -$$ \sigma_y \cdot OC \cdot j+$$ \sigma_{x^{'}} \cdot BC \cdot i^{'}-$$ \tau_{x^{'}y^{'}} \cdot BC \cdot j^{'} =0$+$ -\sigma_x \cdot OB \cdot i-$$ \tau_{xy} \cdot OB \cdot j -$$ \tau_{yx} \cdot OC \cdot i -$$ \sigma_y \cdot OC \cdot j+$$ \sigma_{x^{'}} \cdot BC \cdot i^{'}+$$ \tau_{x^{'}y^{'}} \cdot BC \cdot j^{'} =0$
  
-$ -\sigma_x \cdot \cos \theta \cdot i-$$ \tau_{xy} \cdot \cos \theta \cdot j -$$ \tau_{yx} \cdot \sin \theta \cdot i -$$ \sigma_y \cdot \sin \theta \cdot j+$$ \sigma_{x^{'}} \cdot (\cos \theta \cdot i + \sin \theta j)-$$ \tau_{x^{'}y^{'}} \cdot (- \sin \theta i + \cos \theta j) =0$+$ -\sigma_x \cdot \cos \theta \cdot i-$$ \tau_{xy} \cdot \cos \theta \cdot j -$$ \tau_{yx} \cdot \sin \theta \cdot i -$$ \sigma_y \cdot \sin \theta \cdot j+$$ \sigma_{x^{'}} \cdot (\cos \theta \cdot i + \sin \theta \cdot j)+$$ \tau_{x^{'}y^{'}} \cdot (- \sin \theta \cdot i + \cos \theta \cdot j) =0$
  
-<编辑中>+得： 
 +$i \cdot (-\sigma_x \cos \theta - \tau_{xy} \sin \theta + \sigma{_x^{'}} \cos \theta- \tau_{x^{'}y^{'}} \sin \theta)$$+j \cdot (-\tau_{xy}  \cos \theta -\sigma_y  \sin \theta + \sigma{_x^{'}} \sin \theta+\tau_{x^{'}y^{'}} \cos \theta) $
  
 +将i基和j基的系数拆分成两个方程，则
  
 +$-\sigma_x \cos \theta - \tau_{xy} \sin \theta + \sigma{_x^{'}} \cos \theta- \tau_{x^{'}y^{'}} \sin \theta = 0$
 +
 +$-\tau_{xy}  \cos \theta -\sigma_y  \sin \theta + \sigma{_x^{'}} \sin \theta+\tau_{x^{'}y^{'}} \cos \theta =0 $
 +
 +中间消分的步骤略去，将$\sigma_{x^{'}} $记作$\sigma_\theta $，将$\tau_{x^{'}y^{'}} $记作$\tau_\theta$
 +
 +得：
 +
 +$$ \sigma_\theta = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta $$
  
-$$ \sigma_\theta =\sigma_x \cos^2 \theta +\sigma_y \sin^2 \theta + 2 \tau_{xy} \sin \theta \cos \theta= \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta $$ 
 $$ \tau_\theta = - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\theta + \tau_{xy} \cos 2\theta $$ $$ \tau_\theta = - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\theta + \tau_{xy} \cos 2\theta $$
 +
 +该方程形成一个摩尔应力圆
 +
 +{{.:pasted:20251204-132550.png}}
  
 **主应力 (Principal Stresses)**： **主应力 (Principal Stresses)**：
行 112: 行 126:
 ==== 三维情况 (3D Stress State) ==== ==== 三维情况 (3D Stress State) ====
 在三维空间中，取一个**柯西四面体 (Cauchy Tetrahedron)**。斜面法向量为 $\vec{n} = (l, m, n)$ 或 $(l_1, l_2, l_3)$。 在三维空间中，取一个**柯西四面体 (Cauchy Tetrahedron)**。斜面法向量为 $\vec{n} = (l, m, n)$ 或 $(l_1, l_2, l_3)$。
 +
 +{{.:pasted:20251204-132945.png}}
  
 **柯西公式 (Cauchy Formula)**： **柯西公式 (Cauchy Formula)**：
行 156: 行 172:
  
 三维应力状态可以用三个摩尔圆来表示。 三维应力状态可以用三个摩尔圆来表示。
-  1. 取主轴坐标系，应力分量为 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$。 + 
-  2. 任意斜截面上的正应力 $\sigma_n$ 和剪应力 $\tau_n$ 必定落在三个圆围成的**阴影区域**内。+{{.:pasted:20251204-133046.png?400}} 
 + 
 + 
 +  * 取主轴坐标系，应力分量为 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$。 
 +  * 任意斜截面上的正应力 $\sigma_n$ 和剪应力 $\tau_n$ 必定落在三个圆围成的**阴影区域**内。
  
 这三个圆分别由主应力两两组合构成： 这三个圆分别由主应力两两组合构成：
行 193: 行 213:
  
 研究微元体在体力 $f_i$ 作用下的平衡。 研究微元体在体力 $f_i$ 作用下的平衡。
 +
 +{{.:pasted:20251204-133856.png}}
 +
 在微元体的各个面上，应力分量由于位置不同而发生微小变化（利用泰勒级数展开，保留一阶项）。 在微元体的各个面上，应力分量由于位置不同而发生微小变化（利用泰勒级数展开，保留一阶项）。
  
 例如 $x$ 方向的平衡： 例如 $x$ 方向的平衡：
 +
 $$ \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} dx \right) dy dz - \sigma_x dy dz + \dots + f_x dx dy dz = 0 $$ $$ \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} dx \right) dy dz - \sigma_x dy dz + \dots + f_x dx dy dz = 0 $$
  
行 211: 行 235:
 $$ \sigma_{ji, j} + f_i = 0 $$ $$ \sigma_{ji, j} + f_i = 0 $$
 其中下标 $j$ 后的逗号表示对坐标 $x_j$ 求偏导。这是弹性力学中最基本的方程之一，描述了应力场必须满足的平衡条件。 其中下标 $j$ 后的逗号表示对坐标 $x_j$ 求偏导。这是弹性力学中最基本的方程之一，描述了应力场必须满足的平衡条件。
 +
 +{{.:pasted:20251204-134257.png}}
 +
 +答：因为平衡方程用了泰勒展开，即高阶无穷小，高了一阶，所以体积不能忽略。
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  • 弹性力学/应力分析.1764823828.txt.gz
  • 最后更改: 2025/12/04 12:50
  • 由 张叶安