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--- 常微分方程:lyapunov稳定性理论 [2026/02/19 17:26] – 创建张叶安
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-====== 第十二章 Sturm-Liouville边值问题 ======
+====== 第十章 Lyapunov稳定性理论 ======
-===== 12.1 Sturm-Liouville问题的形式 =====
+===== 10.1 稳定性的定义 =====
-**定义12.1.1（Sturm-Liouville问题）**
+考虑自治系统：
+$$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in D \subseteq \mathbb{R}^n$$
-二阶线性微分方程的**Sturm-Liouville（S-L）形式**为：
+设 $\mathbf{f}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$，即原点是平衡点。
-$$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + [\lambda w(x) - q(x)]y = 0, \quad a < x < b$$
-其中：
+**定义10.1.1（Lyapunov稳定性）**
-  - $p(x) > 0$（通常称为权函数或系数函数）
-  - $w(x) > 0$（权函数）
-  - $q(x) \geq 0$（势函数）
-  - $\lambda$ 为参数（特征值）
-配合边界条件（如 $y(a) = y(b) = 0$ 或周期性条件），构成**S-L边值问题**。
+原点称为**稳定的**（Stable），若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当初值满足 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta$ 时，对所有 $t \geq 0$ 有：
+$$\|\mathbf{x}(t)\| < \varepsilon$$
-**例12.1**：将Bessel方程化为S-L形式
+**定义10.1.2（渐近稳定性）**
-$$x^2y'' + xy' + (\lambda x^2 - n^2)y = 0$$
-除以 $x$：$xy'' + y' + (\lambda x - \frac{n^2}{x})y = 0$
+原点称为**渐近稳定的**（Asymptotically Stable），若：
+. 它是稳定的；
+. 存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta_1$ 时，$\lim_{t \to +\infty} \mathbf{x}(t) = \mathbf{0}$。
-即：$\frac{d}{dx}\left[x\frac{dy}{dx}\right] + (\lambda x - \frac{n^2}{x})y = 0$
+满足条件2的区域称为**吸引域**（Domain of Attraction）。
-故 $p(x) = x$，$w(x) = x$，$q(x) = \frac{n^2}{x}$。
+**定义10.1.3（不稳定性）**
-===== 12.2 正则与奇异S-L问题 =====
+若原点不是稳定的，则称为**不稳定的**（Unstable）。
-**定义12.2.1（正则S-L问题）**
+**定义10.1.4（全局渐近稳定性）**
-若 $p, p', q, w$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $p(x) > 0$，$w(x) > 0$ 在 $[a,b]$ 上成立，则称为**正则Sturm-Liouville问题**。
+若原点是渐近稳定的，且吸引域为整个 $\mathbb{R}^n$，则称为**全局渐近稳定**。
-**定义12.2.2（奇异S-L问题）**
+===== 10.2 Lyapunov直接法 =====
-若 $p(x)$ 或 $w(x)$ 在端点处为零或无穷，或区间为无穷，则称为**奇异Sturm-Liouville问题**。
+**定义10.2.1（Lyapunov函数）**
-**例12.2**：Legendre方程
+设 $V: D \to \mathbb{R}$ 是连续可微函数：
-$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + \lambda y = 0, \quad -1 < x < 1$$
+  - 若 $V(\mathbf{0}) = 0$ 且 $V(\mathbf{x}) > 0$（$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$），称 $V$ 是**正定**的
+  - 若 $V(\mathbf{0}) = 0$ 且 $V(\mathbf{x}) \geq 0$，称 $V$ 是**半正定**的
+  - 若 $-V$ 正定，称 $V$ 是**负定**的
-在 $x = \pm 1$ 处 $p(x) = 0$，为奇异S-L问题。
+沿系统轨线的导数：
+$$\dot{V}(\mathbf{x}) = \frac{dV}{dt} = \nabla V \cdot \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V}{\partial x_i} f_i(\mathbf{x})$$
-===== 12.3 Sturm-Liouville理论 =====
+**定理10.2.1（Lyapunov稳定性定理）**
-**定理12.3.1（特征值性质）**
+设 $V$ 是定义在平衡点邻域内的正定函数：
+  - (i) 若 $\dot{V} \leq 0$（半负定），则原点稳定；
+  - (ii) 若 $\dot{V} < 0$（负定），则原点渐近稳定；
+  - (iii) 若 $\dot{V} > 0$（正定），则原点不稳定。
-对于正则S-L问题，特征值和特征函数具有以下性质：
+*证明* (i)：给定 $\varepsilon > 0$，设 $S_\varepsilon = \{\mathbf{x} : \|\mathbf{x}\| = \varepsilon\}$。令 $m = \min_{S_\varepsilon} V > 0$。由连续性，存在 $\delta > 0$ 使得当 $\|\mathbf{x}\| < \delta$ 时 $V(\mathbf{x}) < m$。
-. **特征值存在性**：存在可数个特征值 $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots$，且 $\lambda_n \to +\infty$。
+对初值 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta$，由于 $\dot{V} \leq 0$，有 $V(\mathbf{x}(t)) \leq V(\mathbf{x}(0)) < m$。因此 $\mathbf{x}(t)$ 不会到达 $S_\varepsilon$，即 $\|\mathbf{x}(t)\| < \varepsilon$。
-. **特征值实性**：所有特征值都是实数。
+**定理10.2.2（Lasalle不变集原理）**
-. **特征函数正交性**：对应不同特征值 $\lambda_m \neq \lambda_n$ 的特征函数 $y_m, y_n$ 关于权函数 $w$ 正交：
+设 $V$ 正定，$\dot{V} \leq 0$。令 $E = \{\mathbf{x} : \dot{V}(\mathbf{x}) = 0\}$，$M$ 是 $E$ 中最大不变集。则从有界区域内出发的轨线当 $t \to \infty$ 时趋于 $M$。
-$$\int_a^b y_m(x)y_n(x)w(x)dx = 0$$
-. **特征函数完备性**：特征函数系 $\{y_n\}$ 在 $L^2_w[a,b]$ 中完备。
+**推论**：若 $M = \{\mathbf{0}\}$，则原点渐近稳定。
-**定理12.3.2（特征值振荡性）**
+===== 10.3 线性系统的稳定性 =====
-第 $n$ 个特征函数 $y_n$ 在 $(a,b)$ 内有恰好 $n-1$ 个零点。
+对于线性系统 $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}$：
-===== 12.4 边界条件 =====
+**定理10.3.1**
-**定义12.4.1（分离边界条件）**
+  - 若 $A$ 的所有特征值实部为负，则原点全局渐近稳定；
+  - 若存在实部为正的特征值，则原点不稳定；
+  - 若所有特征值实部非正，且实部为零的特征值的代数重数等于几何重数，则原点稳定（但未必渐近稳定）。
-$$\alpha_1 y(a) + \alpha_2 y'(a) = 0, \quad \beta_1 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0$$
+**例10.1**：用Lyapunov方法证明上述定理的第一部分。
-其中 $(\alpha_1, \alpha_2) \neq (0,0)$，$(\beta_1, \beta_2) \neq (0,0)$。
+*解*：取 $V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T P \mathbf{x}$，其中 $P$ 正定。则
+$$\dot{V} = \mathbf{x}^T(PA + A^T P)\mathbf{x}$$
-**特殊情形**：
+取 $P$ 满足Lyapunov方程 $PA + A^T P = -Q$，其中 $Q$ 正定。由于 $A$ 的特征值实部为负，该方程有唯一正定解 $P$。此时 $\dot{V} = -\mathbf{x}^T Q \mathbf{x} < 0$，原点渐近稳定。
-  - Dirichlet条件：$y(a) = y(b) = 0$
-  - Neumann条件：$y'(a) = y'(b) = 0$
-  - 混合条件：$y(a) = y'(b) = 0$ 等
-**定义12.4.2（周期性边界条件）**
+===== 10.4 二次型Lyapunov函数 =====
-$$y(a) = y(b), \quad y'(a) = y'(b)$$
+对于非线性系统，常用二次型作为Lyapunov函数候选：
+$$V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T P \mathbf{x}$$
-此时 $p(a) = p(b)$。
+**例10.2**：分析系统
+$$\begin{cases}\dot{x} = -x + y \\ \dot{y} = -x - y^3\end{cases}$$
-===== 12.5 Green函数与逆算子 =====
+*解*：取 $V = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$，则
+$$\dot{V} = x(-x+y) + y(-x-y^3) = -x^2 - y^4 < 0 \quad (\mathbf{x} \neq \mathbf{0})$$
-对于S-L问题，可定义微分算子：
+因此原点全局渐近稳定。
-$$Ly = -\frac{1}{w}\frac{d}{dx}\left[p\frac{dy}{dx}\right] + \frac{q}{w}y$$
-则方程为 $Ly = \lambda y$。
+===== 10.5 不稳定性判别 =====
-**定义12.5.1（Green函数）**
+**定理10.5.1（Chetaev定理）**
-若 $\lambda = 0$ 不是特征值，则存在**Green函数** $G(x,\xi)$ 使得边值问题 $Ly = f$ 的解为：
+设 $V$ 在平衡点邻域内定义，$V(\mathbf{0}) = 0$。若存在区域 $D_1$ 使得：
-$$y(x) = \int_a^b G(x,\xi)f(\xi)w(\xi)d\xi$$
+. 在 $D_1$ 内 $V > 0$ 且 $\dot{V} > 0$
+. 在 $D_1$ 的边界上（除原点外）$V = 0$
-**Green函数性质**：
+则原点不稳定。
-. $G$ 连续，$G(x,\xi) = G(\xi,x)$（对称性）
-. 对 $x \neq \xi$，满足齐次方程 $LG = 0$
-. 在 $x = \xi$ 处满足跃变条件：$\left[p\frac{\partial G}{\partial x}\right]_{\xi^-}^{\xi^+} = -1$
-===== 12.6 特征值估计 =====
+**例10.3**：证明系统 $\begin{cases}\dot{x} = x^2 + y^2 \\ \dot{y} = xy\end{cases}$ 的原点不稳定。
-**定理12.6.1（Rayleigh商）**
+*解*：取 $V = xy$，在区域 $D_1 = \{(x,y): x > 0, y > 0\}$ 内 $V > 0$。
-第一特征值满足：
+$$\dot{V} = y(x^2+y^2) + x(xy) = x^2y + y^3 + x^2y = 2x^2y + y^3 > 0$$
-$$\lambda_1 = \min_{y \neq 0} \frac{\int_a^b [p(y')^2 + qy^2]dx}{\int_a^b wy^2 dx}$$
-其中 $y$ 满足边界条件。
+由Chetaev定理，原点不稳定。
-**定理12.6.2（比较定理）**
+===== 10.6 全局稳定性 =====
-若在 $[a,b]$ 上 $q_1(x) \leq q_2(x)$，则对应的特征值满足 $\lambda_n^{(1)} \leq \lambda_n^{(2)}$。
+**定理10.6.1（全局渐近稳定性）**
-===== 12.7 例题详解 =====
+若存在正定函数 $V(\mathbf{x})$ 满足：
+. $\dot{V}(\mathbf{x})$ 负定
+. $V(\mathbf{x}) \to \infty$ 当 $\|\mathbf{x}\| \to \infty$（径向无界）
-**例12.3**：求解S-L问题
+则原点是全局渐近稳定的。
-$$y'' + \lambda y = 0, \quad y(0) = y(\pi) = 0$$
-*解*：
+条件2保证了轨线不会"逃逸到无穷远"。
-  - $\lambda < 0$：令 $\lambda = -\mu^2$，通解 $y = Ae^{\mu x} + Be^{-\mu x}$
-  - $y(0) = A + B = 0$
-  - $y(\pi) = Ae^{\mu\pi} + Be^{-\mu\pi} = 0$
-  - 仅有零解，故无负特征值
-  - $\lambda = 0$：$y = Ax + B$，由边界条件得 $A = B = 0$
+**例10.4**：考虑系统 $\dot{x} = -x^3$，取 $V = x^2$。
-  - $\lambda > 0$：令 $\lambda = \mu^2$，$y = A\cos(\mu x) + B\sin(\mu x)$
+$$\dot{V} = 2x \cdot (-x^3) = -2x^4 < 0 \quad (x \neq 0)$$
-  - $y(0) = A = 0$
-  - $y(\pi) = B\sin(\mu\pi) = 0$，故 $\mu = n$，$n = 1, 2, 3, \ldots$
-**特征值**：$\lambda_n = n^2$，$n = 1, 2, 3, \ldots$
+$V$ 径向无界，故原点全局渐近稳定。
-**特征函数**：$y_n = \sin(nx)$
+===== 10.7 指数稳定性 =====
-正交性：$\int_0^\pi \sin(mx)\sin(nx)dx = 0$（$m \neq n$）
+**定义10.7.1**
-**例12.4**：求解周期S-L问题
+原点称为**指数稳定**的，若存在常数 $M > 0, \alpha > 0, \delta > 0$，使得当 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta$ 时：
-$$y'' + \lambda y = 0, \quad y(-\pi) = y(\pi), \quad y'(-\pi) = y'(\pi)$$
+$$\|\mathbf{x}(t)\| \leq M\|\mathbf{x}(0)\|e^{-\alpha t}, \quad t \geq 0$$
-*解*：
+**定理10.7.1**
-  - $\lambda = 0$：$y = A + Bx$，周期性要求 $B = 0$，$\lambda_0 = 0$，$y_0 = 1$
-  - $\lambda = n^2 > 0$：$y = A\cos(nx) + B\sin(nx)$
+对于线性系统，渐近稳定性等价于指数稳定性。
-  - 自动满足周期性
-  - 每个特征值对应两个特征函数：$\cos(nx)$ 和 $\sin(nx)$
-**特征值**：$\lambda_n = n^2$，$n = 0, 1, 2, \ldots$
+===== 10.8 例题详解 =====
-**特征函数**：$y_0 = 1$，$y_{2n-1} = \cos(nx)$，$y_{2n} = \sin(nx)$
+**例10.5**：分析阻尼摆方程的稳定性
+$$\ddot{\theta} + c\dot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0, \quad c > 0$$
-===== 12.8 应用：分离变量法 =====
+*解*：令 $x = \theta, y = \dot{\theta}$，得：
+$$\begin{cases}\dot{x} = y \\ \dot{y} = -\frac{g}{l}\sin x - cy\end{cases}$$
-S-L理论是分离变量法求解偏微分方程的数学基础。
+平衡点：$(k\pi, 0), k \in \mathbb{Z}$
-**例12.5**：热传导方程
+在 $(0, 0)$ 附近线性化，取 $V = \frac{1}{2}y^2 + \frac{g}{l}(1-\cos x)$（能量函数）：
-$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad u(0,t) = u(\pi,t) = 0$$
+$$\dot{V} = y\dot{y} + \frac{g}{l}\sin x \cdot \dot{x} = y(-\frac{g}{l}\sin x - cy) + \frac{g}{l}\sin x \cdot y = -cy^2 \leq 0$$
-分离变量 $u = X(x)T(t)$，得 $X'' + \lambda X = 0$，即上述S-L问题。
+由Lasalle原理，轨线趋于集合 $\{y = 0\}$。在该集合上，由原方程 $\dot{x} = 0$，$\dot{y} = -\frac{g}{l}\sin x = 0$，故 $x = k\pi$。因此轨线趋于平衡点。在 $(0,0)$ 附近，轨线趋于原点，故原点渐近稳定。
-解为：$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty c_n e^{-n^2t}\sin(nx)$
+在 $(\pi, 0)$ 附近，令 $\xi = x - \pi$，则 $\sin x = -\sin\xi \approx -\xi$：
+$$\begin{cases}\dot{\xi} = y \\ \dot{y} = \frac{g}{l}\xi - cy\end{cases}$$
-===== 12.9 习题 =====
+特征值：$\lambda^2 + c\lambda - \frac{g}{l} = 0$，一正一负，故为鞍点，不稳定。
-**习题12.1**：将方程 $y'' - 2xy' + \lambda y = 0$ 化为S-L形式。
+===== 10.9 习题 =====
-**习题12.2**：求解S-L问题：$y'' + \lambda y = 0$，$y'(0) = y'(\pi) = 0$。求特征值和特征函数，并验证正交性。
+**习题10.1**：用Lyapunov方法证明：若 $A$ 的特征值实部均为负，则系统 $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}$ 的原点全局渐近稳定。
-**习题12.3**：证明Chebyshev方程 $(1-x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ 是S-L问题，确定 $p, w, q$。
+**习题10.2**：构造Lyapunov函数分析：
+$$\begin{cases}\dot{x} = -y - x^3 \\ \dot{y} = x - y^3\end{cases}$$
-**习题12.4**：用Rayleigh商估计 $y'' + \lambda y = 0$，$y(0) = y(1) = 0$ 的第一特征值。
+**习题10.3**：证明梯度系统 $\dot{\mathbf{x}} = -\nabla V(\mathbf{x})$ 的平衡点是渐近稳定的，当且仅当该点是 $V$ 的严格局部极小值点。
-**习题12.5**：对于带参数 $\mu > 0$ 的S-L问题：
+**习题10.4**：分析系统：
-$$\frac{d}{dx}\left[x\frac{dy}{dx}\right] + \left(\mu x - \frac{n^2}{x}\right)y = 0, \quad y(0) \text{ 有界}, \, y(1) = 0$$
+$$\begin{cases}\dot{x} = y + ax(x^2+y^2) \\ \dot{y} = -x + ay(x^2+y^2)\end{cases}$$
-证明特征值为Bessel函数 $J_n(\sqrt{\mu})$ 的正零点。
+讨论参数 $a$ 对原点稳定性的影响。
+**习题10.5**：对于Hamilton系统，证明：若能量函数 $H$ 在平衡点有严格极小值，则该平衡点是稳定的（但非渐近稳定）。

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