常微分方程:高阶微分方程

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常微分方程:高阶微分方程 [2026/02/19 17:21] – 创建 张叶安常微分方程:高阶微分方程 [2026/02/21 14:08] (当前版本) – [4.7 参考答案] 张叶安
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 **习题 4.1** 求解下列可降阶方程： **习题 4.1** 求解下列可降阶方程：
-  a) $y''' = x + \sin x$ + 
-  b) $y'' = y' + x$ +a) $y''' = x + \sin x$ 
-  c) $yy'' = (y')^2$+ 
 +b) $y'' = y' + x$ 
 + 
 +c) $yy'' = (y')^2$
  
 **习题 4.2** 验证 $y_1 = e^x, y_2 = e^{2x}$ 是方程 $y'' - 3y' + 2y = 0$ 的基本解组，并写出通解。 **习题 4.2** 验证 $y_1 = e^x, y_2 = e^{2x}$ 是方程 $y'' - 3y' + 2y = 0$ 的基本解组，并写出通解。
行 175: 行 178:
  
 **习题 4.4** 计算下列函数组的Wronski行列式，并判断线性相关性： **习题 4.4** 计算下列函数组的Wronski行列式，并判断线性相关性：
-  a) $e^x, e^{2x}, e^{3x}$ + 
-  b) $1, x, x^2$ +a) $e^x, e^{2x}, e^{3x}$ 
-  c) $e^x, xe^x, x^2e^x$+ 
 +b) $1, x, x^2$ 
 + 
 +c) $e^x, xe^x, x^2e^x$
  
 **习题 4.5** 证明：若 $y_1, y_2$ 是二阶齐次线性方程的两个线性无关解，则它们的Wronski行列式 $W(y_1, y_2) = y_1y_2' - y_2y_1'$ 在定义域内恒不为零。 **习题 4.5** 证明：若 $y_1, y_2$ 是二阶齐次线性方程的两个线性无关解，则它们的Wronski行列式 $W(y_1, y_2) = y_1y_2' - y_2y_1'$ 在定义域内恒不为零。
行 184: 行 190:
  
 **习题 4.1** **习题 4.1**
-  a) $y = \frac{x^4}{24} - \sin x + C_1x^2 + C_2x + C_3$ + 
-  b) $y = C_1e^x - \frac{x^2}{2} - x + C_2$ +a) $y = \frac{x^4}{24} - \sin x + C_1x^2 + C_2x + C_3$ 
-  c) $y = C_2e^{C_1x}$ 或 $y = C$+ 
 +b) $y = C_1e^x - \frac{x^2}{2} - x + C_2$ 
 + 
 +c) $y = C_2e^{C_1x}$ 或 $y = C$
  
 **习题 4.2** 通解 $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$ **习题 4.2** 通解 $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
行 193: 行 202:
  
 **习题 4.4** **习题 4.4**
-  a) $W = 2e^{6x} \neq 0$，线性无关 + 
-  b) $W = 2 \neq 0$，线性无关 +a) $W = 2e^{6x} \neq 0$，线性无关 
-  c) $W = 2e^{3x} \neq 0$，线性无关+ 
 +b) $W = 2 \neq 0$，线性无关 
 + 
 +c) $W = 2e^{3x} \neq 0$，线性无关
  
 ===== 4.8 本章小结 ===== ===== 4.8 本章小结 =====
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  • 最后更改: 2026/02/19 17:21
  • 由 张叶安