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| 常微分方程:线性微分方程组 [2026/02/19 17:23] – 创建 张叶安 | 常微分方程:线性微分方程组 [2026/02/21 14:13] (当前版本) – [7.6 参考答案] 张叶安 |
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| **习题 7.1** 将下列高阶方程化为方程组： | **习题 7.1** 将下列高阶方程化为方程组： |
| a) $y''' - 2y'' + y' - 2y = 0$ | |
| b) $y'' + \omega^2 y = f(t)$ | a) $y''' - 2y'' + y' - 2y = 0$ |
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| | b) $y'' + \omega^2 y = f(t)$ |
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| **习题 7.2** 验证 $\mathbf{\varphi}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}e^{3t}, \mathbf{\varphi}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{-t}$ 是方程组 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}$ 的基本解组。 | **习题 7.2** 验证 $\mathbf{\varphi}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}e^{3t}, \mathbf{\varphi}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{-t}$ 是方程组 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}$ 的基本解组。 |
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| **习题 7.1** | **习题 7.1** |
| a) $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x}$ | |
| b) $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ f(t) \end{pmatrix}$ | a) $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x}$ |
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| | b) $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ f(t) \end{pmatrix}$ |
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| **习题 7.2** 验证代入方程和Wronski行列式非零。 | **习题 7.2** 验证代入方程和Wronski行列式非零。 |
张叶安