常微分方程:常系数线性微分方程

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常微分方程:常系数线性微分方程 [2026/02/19 17:22] – 创建 张叶安常微分方程:常系数线性微分方程 [2026/02/21 14:10] (当前版本) – [5.6 参考答案] 张叶安
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 **习题 5.1** 求解下列常系数齐次方程： **习题 5.1** 求解下列常系数齐次方程：
-  a) $y'' + y' - 6y = 0$ + 
-  b) $y'' + 6y' + 9y = 0$ +a) $y'' + y' - 6y = 0$ 
-  c) $y'' + 2y' + 5y = 0$ + 
-  d) $y''' - 2y'' + y' - 2y = 0$+b) $y'' + 6y' + 9y = 0$ 
 + 
 +c) $y'' + 2y' + 5y = 0$ 
 + 
 +d) $y''' - 2y'' + y' - 2y = 0$
  
 **习题 5.2** 用待定系数法求下列方程的特解： **习题 5.2** 用待定系数法求下列方程的特解：
-  a) $y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$ + 
-  b) $y'' + y = x\sin x$ +a) $y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$ 
-  c) $y'' - 3y' + 2y = x^2$+ 
 +b) $y'' + y = x\sin x$ 
 + 
 +c) $y'' - 3y' + 2y = x^2$
  
 **习题 5.3** 用常数变易法求解 $y'' + y = \sec x$。 **习题 5.3** 用常数变易法求解 $y'' + y = \sec x$。
  
 **习题 5.4** 求解下列Euler方程： **习题 5.4** 求解下列Euler方程：
-  a) $x^2y'' - 2y = 0$ + 
-  b) $x^2y'' - 3xy' + 4y = x^2\ln x$+a) $x^2y'' - 2y = 0$ 
 + 
 +b) $x^2y'' - 3xy' + 4y = x^2\ln x$
  
 **习题 5.5** 求方程 $y'' - 4y' + 5y = 0$ 满足 $y(0) = 1, y'(0) = 5$ 的特解。 **习题 5.5** 求方程 $y'' - 4y' + 5y = 0$ 满足 $y(0) = 1, y'(0) = 5$ 的特解。
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 **习题 5.1** **习题 5.1**
-  a) $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-3x}$ + 
-  b) $y = (C_1 + C_2x)e^{-3x}$ +a) $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-3x}$ 
-  c) $y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ + 
-  d) $y = C_1e^{2x} + C_2\cos x + C_3\sin x$+b) $y = (C_1 + C_2x)e^{-3x}$ 
 + 
 +c) $y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ 
 + 
 +d) $y = C_1e^{2x} + C_2\cos x + C_3\sin x$
  
 **习题 5.2** **习题 5.2**
-  a) $y^* = \frac{x^2e^{2x}}{2}$ + 
-  b) $y^* = -\frac{x^2\cos x}{4} + \frac{x\sin x}{4}$ +a) $y^* = \frac{x^2e^{2x}}{2}$ 
-  c) $y^* = \frac{x^2}{2} + \frac{3x}{2} + \frac{7}{4}$+ 
 +b) $y^* = -\frac{x^2\cos x}{4} + \frac{x\sin x}{4}$ 
 + 
 +c) $y^* = \frac{x^2}{2} + \frac{3x}{2} + \frac{7}{4}$
  
 **习题 5.3** $y = C_1\cos x + C_2\sin x + x\sin x + \cos x \ln|\cos x|$ **习题 5.3** $y = C_1\cos x + C_2\sin x + x\sin x + \cos x \ln|\cos x|$
  
 **习题 5.4** **习题 5.4**
-  a) $y = C_1x^2 + \frac{C_2}{x}$ + 
-  b) $y = C_1x^2 + C_2x^2\ln x + \frac{x^2(\ln x)^3}{6}$+a) $y = C_1x^2 + \frac{C_2}{x}$ 
 + 
 +b) $y = C_1x^2 + C_2x^2\ln x + \frac{x^2(\ln x)^3}{6}$
  
 **习题 5.5** $y = e^{2x}(\cos x + 3\sin x)$ **习题 5.5** $y = e^{2x}(\cos x + 3\sin x)$
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