常微分方程:变系数线性微分方程

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常微分方程:变系数线性微分方程 [2026/02/21 14:10] – [6.5.3 性质] 张叶安常微分方程:变系数线性微分方程 [2026/02/21 14:12] (当前版本) – [6.7 参考答案] 张叶安
行 129: 行 129:
 ==== 6.5.3 性质 ==== ==== 6.5.3 性质 ====
  
-  * 递推关系：+递推关系：
  
 $J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x}J_\nu(x)$ $J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x}J_\nu(x)$
  
 $J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x) = 2J_\nu'(x)$ $J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x) = 2J_\nu'(x)$
-   + 
-  * 正交性：+正交性：
  
 $\int_0^1 xJ_n(\alpha_{nk}x)J_n(\alpha_{nj}x)dx = \frac{1}{2}[J_{n+1}(\alpha_{nk})]^2\delta_{kj}$ $\int_0^1 xJ_n(\alpha_{nk}x)J_n(\alpha_{nj}x)dx = \frac{1}{2}[J_{n+1}(\alpha_{nk})]^2\delta_{kj}$
行 144: 行 144:
  
 **习题 6.1** 用幂级数法求下列方程在 $x = 0$ 附近的通解： **习题 6.1** 用幂级数法求下列方程在 $x = 0$ 附近的通解：
-  a) $y'' - xy' - y = 0$ + 
-  b) $(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0$+a) $y'' - xy' - y = 0$ 
 + 
 +b) $(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0$
  
 **习题 6.2** 验证 $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$ 满足Legendre方程（$n = 2$）。 **习题 6.2** 验证 $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$ 满足Legendre方程（$n = 2$）。
行 160: 行 162:
  
 **习题 6.1** **习题 6.1**
-  a) $y = a_0\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2^k k!} + a_1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k k! x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ + 
-  b) $y = C_1x + C_2(1 - x\text{arctanh}x)$ 或级数形式+a) $y = a_0\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2^k k!} + a_1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k k! x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ 
 + 
 +b) $y = C_1x + C_2(1 - x\text{arctanh}x)$ 或级数形式
  
 **习题 6.2** 直接代入验证。 **习题 6.2** 直接代入验证。
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  • 常微分方程/变系数线性微分方程.1771654259.txt.gz
  • 最后更改: 2026/02/21 14:10
  • 由 张叶安