常微分方程:一阶微分方程

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常微分方程:一阶微分方程 [2026/02/19 17:32] – [2.8 参考答案] 张叶安常微分方程:一阶微分方程 [2026/02/21 14:05] (当前版本) – [2.4.3 非齐次线性方程的解法——常数变易法] 张叶安
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 1. 先求对应齐次方程的通解 $y = Ce^{-\int p(x)dx}$ 1. 先求对应齐次方程的通解 $y = Ce^{-\int p(x)dx}$
 +
 2. 将常数 $C$ 换成待定函数 $C(x)$，设非齐次方程的解为： 2. 将常数 $C$ 换成待定函数 $C(x)$，设非齐次方程的解为：
-   $y = C(x)e^{-\int p(x)dx}$+ 
 +$y = C(x)e^{-\int p(x)dx}$ 
 3. 代入非齐次方程确定 $C(x)$ 3. 代入非齐次方程确定 $C(x)$
  
行 270: 行 273:
  
 **习题 2.1** 求解下列可分离变量方程： **习题 2.1** 求解下列可分离变量方程：
-  a) $\frac{dy}{dx} = x(1 + y^2)$ + 
-  b) $y' = e^{x+y}$+a) $\frac{dy}{dx} = x(1 + y^2)$ 
 + 
 +b) $y' = e^{x+y}$
  
 **习题 2.2** 求解下列齐次方程： **习题 2.2** 求解下列齐次方程：
-  a) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}$ + 
-  b) $(x^2 + y^2)dx - xydy = 0$+a) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}$ 
 + 
 +b) $(x^2 + y^2)dx - xydy = 0$
  
 **习题 2.3** 求解下列线性方程： **习题 2.3** 求解下列线性方程：
-  a) $y' + 2xy = xe^{-x^2}$ + 
-  b) $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^3$+a) $y' + 2xy = xe^{-x^2}$ 
 + 
 +b) $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^3$
  
 **习题 2.4** 求解下列Bernoulli方程： **习题 2.4** 求解下列Bernoulli方程：
-  a) $y' + y = y^2e^x$ + 
-  b) $xy' + y = xy^2\ln x$+a) $y' + y = y^2e^x$ 
 + 
 +b) $xy' + y = xy^2\ln x$
  
 **习题 2.5** 求解下列恰当方程（或求积分因子）： **习题 2.5** 求解下列恰当方程（或求积分因子）：
-  a) $(3x^2 + 6xy^2)dx + (6x^2y + 4y^3)dy = 0$ + 
-  b) $ydx - xdy = 0$+a) $(3x^2 + 6xy^2)dx + (6x^2y + 4y^3)dy = 0$ 
 + 
 +b) $ydx - xdy = 0$
  
 **习题 2.6** 一容器内有100升盐水，含盐10千克。以每分钟3升的速度注入清水，同时以相同速度排出混合均匀的盐水。求容器中盐量随时间的变化规律及1小时后的含盐量。 **习题 2.6** 一容器内有100升盐水，含盐10千克。以每分钟3升的速度注入清水，同时以相同速度排出混合均匀的盐水。求容器中盐量随时间的变化规律及1小时后的含盐量。
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  • 最后更改: 2026/02/19 17:32
  • 由 张叶安