常微分方程:一阶微分方程

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常微分方程:一阶微分方程 [2026/02/19 17:20] – 创建 张叶安常微分方程:一阶微分方程 [2026/02/21 14:05] (当前版本) – [2.4.3 非齐次线性方程的解法——常数变易法] 张叶安
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 1. 先求对应齐次方程的通解 $y = Ce^{-\int p(x)dx}$ 1. 先求对应齐次方程的通解 $y = Ce^{-\int p(x)dx}$
 +
 2. 将常数 $C$ 换成待定函数 $C(x)$，设非齐次方程的解为： 2. 将常数 $C$ 换成待定函数 $C(x)$，设非齐次方程的解为：
-   $y = C(x)e^{-\int p(x)dx}$+ 
 +$y = C(x)e^{-\int p(x)dx}$ 
 3. 代入非齐次方程确定 $C(x)$ 3. 代入非齐次方程确定 $C(x)$
  
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 **习题 2.1** 求解下列可分离变量方程： **习题 2.1** 求解下列可分离变量方程：
-  a) $\frac{dy}{dx} = x(1 + y^2)$ + 
-  b) $y' = e^{x+y}$+a) $\frac{dy}{dx} = x(1 + y^2)$ 
 + 
 +b) $y' = e^{x+y}$
  
 **习题 2.2** 求解下列齐次方程： **习题 2.2** 求解下列齐次方程：
-  a) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}$ + 
-  b) $(x^2 + y^2)dx - xydy = 0$+a) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}$ 
 + 
 +b) $(x^2 + y^2)dx - xydy = 0$
  
 **习题 2.3** 求解下列线性方程： **习题 2.3** 求解下列线性方程：
-  a) $y' + 2xy = xe^{-x^2}$ + 
-  b) $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^3$+a) $y' + 2xy = xe^{-x^2}$ 
 + 
 +b) $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^3$
  
 **习题 2.4** 求解下列Bernoulli方程： **习题 2.4** 求解下列Bernoulli方程：
-  a) $y' + y = y^2e^x$ + 
-  b) $xy' + y = xy^2\ln x$+a) $y' + y = y^2e^x$ 
 + 
 +b) $xy' + y = xy^2\ln x$
  
 **习题 2.5** 求解下列恰当方程（或求积分因子）： **习题 2.5** 求解下列恰当方程（或求积分因子）：
-  a) $(3x^2 + 6xy^2)dx + (6x^2y + 4y^3)dy = 0$ + 
-  b) $ydx - xdy = 0$+a) $(3x^2 + 6xy^2)dx + (6x^2y + 4y^3)dy = 0$ 
 + 
 +b) $ydx - xdy = 0$
  
 **习题 2.6** 一容器内有100升盐水，含盐10千克。以每分钟3升的速度注入清水，同时以相同速度排出混合均匀的盐水。求容器中盐量随时间的变化规律及1小时后的含盐量。 **习题 2.6** 一容器内有100升盐水，含盐10千克。以每分钟3升的速度注入清水，同时以相同速度排出混合均匀的盐水。求容器中盐量随时间的变化规律及1小时后的含盐量。
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 **习题 2.1** **习题 2.1**
-  a) $\arctan y = \frac{x^2}{2} + C$ + 
-  b) $e^x + e^{-y} = C$+a) $\arctan y = \frac{x^2}{2} + C$ 
 + 
 +b) $e^x + e^{-y} = C$
  
 **习题 2.2** **习题 2.2**
-  a) $y = \frac{x}{C + \ln|x|}$ + 
-  b) $y^2 = x^2(2\ln|x| + C)$+a) $y = \frac{x}{C + \ln|x|}$ 
 + 
 +b) $y^2 = x^2(2\ln|x| + C)$
  
 **习题 2.3** **习题 2.3**
-  a) $y = e^{-x^2}\left(\frac{x^2}{2} + C\right)$ + 
-  b) $y = \frac{x^4}{3} + Cx$+a) $y = e^{-x^2}\left(\frac{x^2}{2} + C\right)$ 
 + 
 +b) $y = \frac{x^4}{3} + Cx$
  
 **习题 2.4** **习题 2.4**
-  a) $\frac{1}{y} = Ce^x - e^x$ 或 $y = 0$ + 
-  b) $\frac{1}{y} = 1 + \ln x + Cx$+a) $\frac{1}{y} = Ce^x - e^x$ 或 $y = 0$ 
 + 
 +b) $\frac{1}{y} = 1 + \ln x + Cx$
  
 **习题 2.5** **习题 2.5**
-  a) $x^3 + 3x^2y^2 + y^4 = C$ + 
-  b) $\frac{x}{y} = C$ (积分因子 $\frac{1}{y^2}$)+a) $x^3 + 3x^2y^2 + y^4 = C$ 
 + 
 +b) $\frac{x}{y} = C$ (积分因子 $\frac{1}{y^2}$)
  
 **习题 2.6** $S(t) = 10e^{-0.03t}$，1小时后约3.7千克 **习题 2.6** $S(t) = 10e^{-0.03t}$，1小时后约3.7千克
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  • 最后更改: 2026/02/19 17:20
  • 由 张叶安