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| 常微分方程:一阶微分方程的解的存在唯一性 [2026/02/19 17:21] – 创建 张叶安 | 常微分方程:一阶微分方程的解的存在唯一性 [2026/02/21 14:06] (当前版本) – [3.9 参考答案] 张叶安 | ||
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| 行 193: | 行 193: | ||
| **习题 3.1** 验证下列函数在给定区域上是否满足Lipschitz条件： | **习题 3.1** 验证下列函数在给定区域上是否满足Lipschitz条件： | ||
| - | | + | |
| - | b) $f(x, y) = \sqrt{y}$ 在 $0 \leq y \leq 1$ | + | a) $f(x, y) = xy$ 在 $|x| \leq 1, |y| \leq 1$ |
| - | c) $f(x, y) = |y|$ 在全平面 | + | |
| + | b) $f(x, y) = \sqrt{y}$ 在 $0 \leq y \leq 1$ | ||
| + | |||
| + | c) $f(x, y) = |y|$ 在全平面 | ||
| **习题 3.2** 用Picard迭代求下列初值问题的前三项逼近： | **习题 3.2** 用Picard迭代求下列初值问题的前三项逼近： | ||
| - | | + | |
| - | b) $y' = y^2, y(0) = 1$ | + | a) $y' = x - y, y(0) = 1$ |
| + | |||
| + | b) $y' = y^2, y(0) = 1$ | ||
| **习题 3.3** 讨论初值问题 $y' = \sqrt{|y|}, y(0) = 0$ 解的存在唯一性，并找出所有解。 | **习题 3.3** 讨论初值问题 $y' = \sqrt{|y|}, y(0) = 0$ 解的存在唯一性，并找出所有解。 | ||
| 行 206: | 行 211: | ||
| **习题 3.5** (Gronwall不等式) 设 $u(x)$ 在 $[x_0, x_1]$ 上非负连续，且满足 | **习题 3.5** (Gronwall不等式) 设 $u(x)$ 在 $[x_0, x_1]$ 上非负连续，且满足 | ||
| + | |||
| $u(x) \leq C + K\int_{x_0}^{x} u(t)dt$ | $u(x) \leq C + K\int_{x_0}^{x} u(t)dt$ | ||
| + | |||
| 其中 $C, K \geq 0$ 为常数。证明：$u(x) \leq Ce^{K(x-x_0)}$。 | 其中 $C, K \geq 0$ 为常数。证明：$u(x) \leq Ce^{K(x-x_0)}$。 | ||
| 行 212: | 行 219: | ||
| **习题 3.1** | **习题 3.1** | ||
| - | | + | |
| - | b) 不满足（在 $y = 0$ 附近） | + | a) 满足，$L = 1$ |
| - | c) 满足，$L = 1$ | + | |
| + | b) 不满足（在 $y = 0$ 附近） | ||
| + | |||
| + | c) 满足，$L = 1$ | ||
| **习题 3.2** | **习题 3.2** | ||
| - | | + | |
| - | b) $\varphi_0 = 1, \varphi_1 = 1 + x, \varphi_2 = 1 + x + x^2 + \frac{x^3}{3}$ | + | a) $\varphi_0 = 1, \varphi_1 = 1 - x + \frac{x^2}{2}, |
| + | |||
| + | b) $\varphi_0 = 1, \varphi_1 = 1 + x, \varphi_2 = 1 + x + x^2 + \frac{x^3}{3}$ | ||
| **习题 3.3** 不满足唯一性条件，有无穷多解：对任意 $a \geq 0$， | **习题 3.3** 不满足唯一性条件，有无穷多解：对任意 $a \geq 0$， | ||
| + | |||
| $y_a(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \\ \frac{(x-a)^2}{4}, | $y_a(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \\ \frac{(x-a)^2}{4}, | ||
张叶安