工程数学:复变函数的积分

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工程数学:复变函数的积分 [2026/02/21 15:14] – [3.1.4 复积分的基本性质] 张叶安工程数学:复变函数的积分 [2026/02/21 15:18] (当前版本) – [3.6 习题] 张叶安
行 203: 行 203:
 总和： 总和：
 $$= \pi(e^i - e^{-i}) = 2\pi i\sin 1$$ $$= \pi(e^i - e^{-i}) = 2\pi i\sin 1$$
- 
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 **例3.5** 计算 $\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^3}dz$。 **例3.5** 计算 $\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^3}dz$。
行 210: 行 208:
 **解**：由高阶导数公式，$n = 2$： **解**：由高阶导数公式，$n = 2$：
 $$\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^3}dz = \frac{2\pi i}{2!}(\cos z)''|_{z=0} = \pi i \cdot (-\cos 0) = -\pi i$$ $$\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^3}dz = \frac{2\pi i}{2!}(\cos z)''|_{z=0} = \pi i \cdot (-\cos 0) = -\pi i$$
- 
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 **例3.6** 设 $f(z)$ 在 $|z| \leq R$ 上解析，证明： **例3.6** 设 $f(z)$ 在 $|z| \leq R$ 上解析，证明：
行 225: 行 221:
  
 1. 计算 $\int_C \text{Re}(z)dz$，其中 $C$ 为： 1. 计算 $\int_C \text{Re}(z)dz$，其中 $C$ 为：
-   (a) 从 $0$ 到 $1+i$ 的直线段 + 
-   (b) 从 $0$ 到 $1$ 再到 $1+i$ 的折线+(a) 从 $0$ 到 $1+i$ 的直线段 
 + 
 +(b) 从 $0$ 到 $1$ 再到 $1+i$ 的折线
  
 2. 计算下列积分： 2. 计算下列积分：
-   (a) $\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+2z+4}$ + 
-   (b) $\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z(z-1)}dz$ +(a) $\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+2z+4}$ 
-   (c) $\oint_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^4}dz$+ 
 +(b) $\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z(z-1)}dz$ 
 + 
 +(c) $\oint_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^4}dz$
  
 3. 设 $f(z)$ 在 $|z| < 2$ 内解析，且 $f(0) = 1$，$f'(0) = 2$，计算： 3. 设 $f(z)$ 在 $|z| < 2$ 内解析，且 $f(0) = 1$，$f'(0) = 2$，计算：
 +
 $$\oint_{|z|=1}\frac{f(z)}{z^2}dz$$ $$\oint_{|z|=1}\frac{f(z)}{z^2}dz$$
  
行 239: 行 241:
  
 4. 设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析且不为零，$C$ 为 $D$ 内简单闭曲线，证明： 4. 设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析且不为零，$C$ 为 $D$ 内简单闭曲线，证明：
 +
 $$\oint_C \frac{f'(z)}{f(z)}dz = 0$$ $$\oint_C \frac{f'(z)}{f(z)}dz = 0$$
  
行 250: 行 253:
  
 8. 设 $u$ 为区域 $D$ 内的调和函数，$C$ 为 $D$ 内以 $z_0$ 为中心的圆周，证明： 8. 设 $u$ 为区域 $D$ 内的调和函数，$C$ 为 $D$ 内以 $z_0$ 为中心的圆周，证明：
 +
 $$u(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(z_0 + re^{i\theta})d\theta$$ $$u(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(z_0 + re^{i\theta})d\theta$$
 +
 （调和函数的平均值性质） （调和函数的平均值性质）
  
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  • 工程数学/复变函数的积分.1771658056.txt.gz
  • 最后更改: 2026/02/21 15:14
  • 由 张叶安