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--- 工程数学:复变函数的积分 [2026/02/21 14:57] – 创建张叶安
+++ 工程数学:复变函数的积分 [2026/02/21 15:18] (当前版本) – [3.6 习题] 张叶安
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-====== 第二章 解析函数 ======
+====== 第三章 复变函数的积分 ======
-本章介绍复变函数的导数概念，研究解析函数的性质，包括柯西-黎曼条件、调和函数以及初等复变函数。
+本章介绍复变函数的积分理论，包括复积分的定义、柯西积分定理和柯西积分公式，这是复变函数理论的核心内容。
-===== 2.1 复变函数的导数 =====
+===== 3.1 复积分的定义 =====
-==== 2.1.1 导数的定义 ====
+==== 3.1.1 有向曲线 ====
-**定义 2.1**（导数）
+**定义 3.1**（有向曲线）
-设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内有定义，若极限：
+设 $C$ 为复平面上一条光滑或分段光滑的曲线，若指定 $C$ 的一个方向为正方向，则称 $C$ 为**有向曲线**。
-$$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0}\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$$
-存在且有限，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处**可导**（或可微），该极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的**导数**。
+  * **起点**：正方向的起始点
+  * **终点**：正方向的终止点
+  * **反向曲线**：$-C$ 表示与 $C$ 方向相反的曲线
-等价地，令 $\Delta z = z - z_0$，则：
+==== 3.1.2 复积分的定义 ====
-$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$
-==== 2.1.2 可导与连续的关系 ====
+**定义 3.2**（复积分）
+设 $C$ 为复平面上以 $z_0$ 为起点、$Z$ 为终点的有向光滑曲线，$f(z)$ 在 $C$ 上有定义。将 $C$ 任意分割为 $n$ 段，分点为：
+$$z_0, z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}, z_n = Z$$
-**定理 2.1**
+在每个弧段 $\widehat{z_{k-1}z_k}$ 上任取一点 $\zeta_k$，作和式：
-若 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。
+$$S_n = \sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)(z_k - z_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)\Delta z_k$$
-**证明**：由可导的定义，存在有限极限 $f'(z_0)$，于是：
+令 $\lambda = \max_{1 \leq k \leq n}|\Delta z_k|$，若当 $\lambda \to 0$ 时，$S_n$ 的极限存在且与分割方式及 $\zeta_k$ 的取法无关，则称该极限为 $f(z)$ 沿 $C$ 的**复积分**，记作：
-$$\lim_{z \to z_0}[f(z) - f(z_0)] = \lim_{z \to z_0}\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \cdot (z - z_0) = f'(z_0) \cdot 0 = 0$$
+$$\int_C f(z)dz = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)\Delta z_k$$
-即 $\lim_{z \to z_0}f(z) = f(z_0)$，故连续。
+==== 3.1.3 复积分与实积分的关系 ====
-**注意**：连续不一定可导，这与实函数情况相同。复变函数中不可导的情况更加普遍。
+设 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，$z = x + iy$，$dz = dx + idy$，则：
+$$\int_C f(z)dz = \int_C (u + iv)(dx + idy) = \int_C udx - vdy + i\int_C vdx + udy$$
-**例2.1** 证明 $f(z) = \bar{z}$ 在复平面上处处连续但处处不可导。
+这是两个实曲线积分的组合。
-**证明**：连续性显然。考虑导数：
+若曲线 $C$ 的参数方程为 $z(t) = x(t) + iy(t)$，$t \in [a, b]$，则：
-$$\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \frac{\overline{z + \Delta z} - \bar{z}}{\Delta z} = \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$$
+$$\int_C f(z)dz = \int_a^b f(z(t))z'(t)dt$$
-令 $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$：
+==== 3.1.4 复积分的基本性质 ====
-  * 当 $\Delta z$ 沿实轴趋于0（$\Delta y = 0$，$\Delta x \to 0$）：极限为 $1$
-  * 当 $\Delta z$ 沿虚轴趋于0（$\Delta x = 0$，$\Delta y \to 0$）：极限为 $-1$
-由于沿不同路径极限不同，故极限不存在，$f(z) = \bar{z}$ 处处不可导。
+  * **线性性**：$\int_C[\alpha f(z) + \beta g(z)]dz = \alpha\int_C f(z)dz + \beta\int_C g(z)dz$
+  * **方向性**：$\int_{-C} f(z)dz = -\int_C f(z)dz$
+  * **可加性**：若 $C = C_1 + C_2$，则 $\int_C f(z)dz = \int_{C_1} f(z)dz + \int_{C_2} f(z)dz$
+  * **估值不等式**：若 $|f(z)| \leq M$ 在 $C$ 上成立，$L$ 为 $C$ 的长度，则：
+    $$\left|\int_C f(z)dz\right| \leq \int_C |f(z)||dz| \leq ML$$
-==== 2.1.3 求导法则 ====
+**例3.1** 计算 $\int_C z dz$，其中 $C$ 为从原点到点 $1+i$ 的直线段。
-复变函数的求导法则与实函数类似：
+**解**：参数化 $C$：$z(t) = t + it = t(1+i)$，$t \in [0, 1]$。
-  * $(c)' = 0$（$c$ 为常数）
+$z'(t) = 1+i$
-  * $(z^n)' = nz^{n-1}$（$n$ 为正整数）
-  * $(cf(z))' = cf'(z)$
-  * $(f \pm g)' = f' \pm g'$
-  * $(fg)' = f'g + fg'$
-  * $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$（$g \neq 0$）
-  * **链式法则**：$\frac{d}{dz}f(g(z)) = f'(g(z)) \cdot g'(z)$
-===== 2.2 解析函数 =====
+$$\int_C z dz = \int_0^1 t(1+i) \cdot (1+i)dt = (1+i)^2\int_0^1 t dt$$
-==== 2.2.1 解析的定义 ====
+$$= 2i \cdot \frac{1}{2} = i$$
-**定义 2.2**（解析函数）
+**例3.2** 计算 $\oint_{|z|=r}\frac{dz}{z}$（沿逆时针方向）。
-若函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处**解析**（或**全纯**、**正则**）。
-若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内**解析**。
+**解**：参数化圆周：$z = re^{i\theta}$，$\theta \in [0, 2\pi]$。
-**定义 2.3**（奇点）
+$dz = ire^{i\theta}d\theta$
-若 $f(z)$ 在 $z_0$ 处不解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的**奇点**。
-**重要区别**：
+$$\oint_{|z|=r}\frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi}\frac{ire^{i\theta}d\theta}{re^{i\theta}} = i\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi i$$
-  * **可导**：在某一点有导数
-  * **解析**：在某点的邻域内处处可导
-解析是比可导更强的条件。
+**重要结论**：此积分值与半径 $r$ 无关。
-==== 2.2.2 解析函数的性质 ====
+===== 3.2 柯西积分定理 =====
-**定理 2.2**
+==== 3.2.1 单连通区域的柯西定理 ====
-  * 解析函数的和、差、积、商（分母不为零处）仍解析
-  * 解析函数的复合函数仍解析
-===== 2.3 柯西-黎曼条件 =====
+**定理 3.1**（柯西积分定理，单连通区域）
+设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内任意一条简单闭曲线，则：
+$$\oint_C f(z)dz = 0$$
-==== 2.3.1 C-R条件 ====
+**证明概要**：利用格林公式。由：
+$$\oint_C f(z)dz = \oint_C udx - vdy + i\oint_C vdx + udy$$
-**定理 2.3**（柯西-黎曼条件的必要性）
+由格林公式和C-R条件：
-设 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在 $z = x + iy$ 处可导，则在该点必满足：
+$$\oint_C udx - vdy = \iint_G\left(-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right)dxdy = 0$$
-$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$
+（因 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$）
-这四个方程称为**柯西-黎曼方程**（简称**C-R方程**或**C-R条件**）。
+同理可证虚部也为零。
-**证明**：设 $f(z)$ 在 $z$ 处可导，则导数：
+==== 3.2.2 多连通区域的柯西定理 ====
-$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$$
-应与 $\Delta z \to 0$ 的路径无关。
+**定理 3.2**（多连通区域的柯西定理）
+设 $C$ 为多连通区域 $D$ 的外边界（逆时针），$C_1, C_2, \ldots, C_n$ 为内边界（顺时针），$f(z)$ 在 $D$ 内解析，则：
+$$\oint_C f(z)dz + \sum_{k=1}^{n}\oint_{C_k} f(z)dz = 0$$
-(1) 令 $\Delta z = \Delta x \to 0$（沿实轴）：
+或写成（若所有曲线均取逆时针方向）：
-$$f'(z) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x+\Delta x, y) - u(x,y)}{\Delta x} + i\lim_{\Delta x \to 0}\frac{v(x+\Delta x, y) - v(x,y)}{\Delta x}$$
+$$\oint_C f(z)dz = \sum_{k=1}^{n}\oint_{C_k} f(z)dz$$
-$$= \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$
-(2) 令 $\Delta z = i\Delta y \to 0$（沿虚轴）：
+**物理意义**：外边界上的积分等于各内边界上积分之和。
-$$f'(z) = \lim_{\Delta y \to 0}\frac{u(x, y+\Delta y) - u(x,y)}{i\Delta y} + i\lim_{\Delta y \to 0}\frac{v(x, y+\Delta y) - v(x,y)}{i\Delta y}$$
-$$= -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}$$
-比较两式，得C-R条件。
+==== 3.2.3 不定积分与原函数 ====
-**定理 2.4**（C-R条件的充分性）
+**定理 3.3**
-设 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，若 $u, v$ 的一阶偏导数在点 $(x, y)$ 处连续且满足C-R条件，则 $f(z)$ 在该点可导。
+设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则：
-**定理 2.5**（解析的充要条件）
+  * 积分 $\int_{z_0}^{z}f(\zeta)d\zeta$ 与路径无关
-$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件是：
+  * $F(z) = \int_{z_0}^{z}f(\zeta)d\zeta$ 在 $D$ 内解析，且 $F'(z) = f(z)$
-  * $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 在 $D$ 内具有一阶连续偏导数
+  * 若 $G'(z) = f(z)$，则 $\int_{z_0}^{z}f(\zeta)d\zeta = G(z) - G(z_0)$
-  * $u$ 和 $v$ 在 $D$ 内满足C-R条件
-==== 2.3.2 极坐标形式的C-R条件 ====
+**定义 3.3**（原函数）
+满足 $F'(z) = f(z)$ 的函数 $F(z)$ 称为 $f(z)$ 的**原函数**。
-若 $z = re^{i\theta}$，$f(z) = u(r, \theta) + iv(r, \theta)$，则C-R条件为：
+**常用原函数**：
-$$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$$
+  * $\int z^n dz = \frac{z^{n+1}}{n+1}$（$n \neq -1$）
+  * $\int e^z dz = e^z$
+  * $\int \cos z dz = \sin z$
+  * $\int \sin z dz = -\cos z$
-==== 2.3.3 导数公式 ====
+**例3.3** 计算 $\int_0^{1+i}z^2 dz$。
-若 $f(z)$ 可导，则：
+**解**：$z^2$ 在全平面解析，故：
-$$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}$$
+$$\int_0^{1+i}z^2 dz = \left.\frac{z^3}{3}\right|_0^{1+i} = \frac{(1+i)^3}{3} = \frac{1 + 3i + 3i^2 + i^3}{3} = \frac{1 + 3i - 3 - i}{3} = \frac{-2 + 2i}{3}$$
-**例2.2** 判断 $f(z) = e^x(\cos y + i\sin y)$ 是否解析，若解析求其导数。
+===== 3.3 柯西积分公式 =====
-**解**：$u = e^x\cos y$，$v = e^x\sin y$
+==== 3.3.1 基本公式 ====
-计算偏导数：
+**定理 3.4**（柯西积分公式）
-$$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x\cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x\sin y$$
+设 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 及其内部 $D$ 上解析，$z_0$ 为 $D$ 内任意一点，则：
-$$\frac{\partial v}{\partial x} = e^x\sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x\cos y$$
+$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz$$
-验证C-R条件：
+**证明**：以 $z_0$ 为中心，$r$ 为半径作小圆 $C_r$（逆时针），使得 $C_r$ 完全在 $D$ 内。
-$$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x\cos y = \frac{\partial v}{\partial y}$$
-$$\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x\sin y = -\frac{\partial v}{\partial x}$$
-满足C-R条件，且偏导数连续，故 $f(z)$ 在全平面解析。
+由多连通区域的柯西定理：
+$$\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz = \oint_{C_r} \frac{f(z)}{z - z_0}dz$$
-导数：
+在 $C_r$ 上，$z = z_0 + re^{i\theta}$，$dz = ire^{i\theta}d\theta$：
-$$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = e^x\cos y + ie^x\sin y = f(z)$$
+$$= \int_0^{2\pi}\frac{f(z_0 + re^{i\theta})}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}d\theta = i\int_0^{2\pi}f(z_0 + re^{i\theta})d\theta$$
-这正是复指数函数 $e^z$。
+令 $r \to 0$，由连续性 $f(z_0 + re^{i\theta}) \to f(z_0)$：
+$$= i\int_0^{2\pi}f(z_0)d\theta = 2\pi i f(z_0)$$
-===== 2.4 调和函数 =====
+因此：
+$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz$$
-==== 2.4.1 调和函数的定义 ====
+**重要意义**：解析函数在区域内部的值完全由边界上的值决定！
-**定义 2.4**（调和函数）
+==== 3.3.2 高阶导数公式 ====
-若二元实函数 $\varphi(x, y)$ 在区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，且满足**Laplace方程**：
-$$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0$$
-则称 $\varphi(x, y)$ 为 $D$ 内的**调和函数**。
+**定理 3.5**（高阶导数公式）
+设 $f(z)$ 在 $C$ 及其内部解析，则 $f(z)$ 在 $D$ 内有任意阶导数，且：
+$$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}dz$$
-算子 $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ 称为**Laplace算子**。
+**推论**：区域内解析的函数具有任意阶导数，且各阶导数仍解析。
-==== 2.4.2 解析函数与调和函数的关系 ====
+这与实函数完全不同：实函数可导不一定有二阶导数。
-**定理 2.6**
+===== 3.4 解析函数的性质 =====
-设 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在区域 $D$ 内解析，则 $u$ 和 $v$ 都是 $D$ 内的调和函数。
-**证明**：由C-R条件：
+==== 3.4.1 Morera定理 ====
-$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$
-对第一式关于 $x$ 求偏导，第二式关于 $y$ 求偏导：
+**定理 3.6**（Morera定理，柯西定理的逆）
-$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$$
+若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内连续，且对 $D$ 内任意简单闭曲线 $C$ 有：
+$$\oint_C f(z)dz = 0$$
+则 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。
-相加：
+==== 3.4.2 Cauchy不等式 ====
-$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = 0$$
-（假设混合偏导数连续，则二者相等）
+**定理 3.7**（Cauchy不等式）
+设 $f(z)$ 在 $|z - z_0| \leq R$ 上解析，$M = \max_{|z-z_0|=R}|f(z)|$，则：
+$$|f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!M}{R^n}$$
-同理可证 $v$ 也是调和函数。
+==== 3.4.3 Liouville定理 ====
-==== 2.4.3 共轭调和函数 ====
+**定理 3.8**（Liouville定理）
+有界整函数必为常数。
-**定义 2.5**（共轭调和函数）
+**证明**：设 $|f(z)| \leq M$ 对所有 $z \in \mathbb{C}$ 成立。对任意 $z_0$，由Cauchy不等式：
-设 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 都是区域 $D$ 内的调和函数，且满足C-R条件，则称 $v$ 是 $u$ 的**共轭调和函数**，$u$ 是 $v$ 的**共轭调和函数**。
+$$|f'(z_0)| \leq \frac{M}{R}$$
-**注意**：共轭调和函数的关系不是对称的。若 $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数，则 $-u$ 是 $v$ 的共轭调和函数（而非 $u$ 是 $v$ 的共轭调和函数）。
+令 $R \to \infty$，得 $|f'(z_0)| = 0$，故 $f'(z) \equiv 0$，$f(z)$ 为常数。
-**已知 $u$ 求 $v$ 的方法**：
+==== 3.4.4 代数基本定理 ====
-由C-R条件：
+**定理 3.9**（代数基本定理）
-$$dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy = -\frac{\partial u}{\partial y}dx + \frac{\partial u}{\partial x}dy$$
+$n$ 次多项式 $P(z) = a_nz^n + \cdots + a_1z + a_0$（$n \geq 1$，$a_n \neq 0$）在复平面上至少有一个零点。
-这是全微分，可沿任意路径积分求得 $v$。
+**证明**（反证法）：若 $P(z) \neq 0$ 对所有 $z$ 成立，则 $\frac{1}{P(z)}$ 是整函数。
-**例2.3** 已知 $u(x, y) = x^2 - y^2$，求其共轭调和函数 $v(x, y)$，并构造解析函数 $f(z) = u + iv$。
+当 $|z| \to \infty$：
+$$|P(z)| = |z|^n\left|a_n + \frac{a_{n-1}}{z} + \cdots + \frac{a_0}{z^n}\right| \to \infty$$
-**解**：首先验证 $u$ 是调和函数：
+所以 $\frac{1}{P(z)} \to 0$（有界），由Liouville定理，$\frac{1}{P(z)}$ 为常数，矛盾。
-$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y$$
-$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2$$
-$\nabla^2 u = 2 - 2 = 0$，故 $u$ 调和。
+===== 3.5 典型例题 =====
-由C-R条件：
+**例3.4** 计算 $\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z^2+1}dz$。
-$$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \Rightarrow v = 2xy + g(x)$$
-$$\frac{\partial v}{\partial x} = 2y + g'(x) = -\frac{\partial u}{\partial y} = 2y$$
+**解**：被积函数 $f(z) = \frac{e^z}{z^2+1} = \frac{e^z}{(z-i)(z+i)}$ 在圆 $|z| = 2$ 内有两个奇点 $z = \pm i$。
-所以 $g'(x) = 0$，$g(x) = C$（常数）。
+作小圆 $C_1$ 包围 $i$，$C_2$ 包围 $-i$，由多连通区域柯西定理：
+$$\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z^2+1}dz = \oint_{C_1}\frac{e^z}{(z-i)(z+i)}dz + \oint_{C_2}\frac{e^z}{(z-i)(z+i)}dz$$
-取 $C = 0$，得 $v = 2xy$。
+对第一个积分，$\frac{e^z}{z+i}$ 在 $C_1$ 内解析，由柯西积分公式：
+$$\oint_{C_1}\frac{\frac{e^z}{z+i}}{z-i}dz = 2\pi i \cdot \frac{e^i}{i+i} = 2\pi i \cdot \frac{e^i}{2i} = \pi e^i$$
-解析函数：
+对第二个积分：
-$$f(z) = u + iv = x^2 - y^2 + 2ixy = (x + iy)^2 = z^2$$
+$$\oint_{C_2}\frac{\frac{e^z}{z-i}}{z+i}dz = 2\pi i \cdot \frac{e^{-i}}{-i-i} = 2\pi i \cdot \frac{e^{-i}}{-2i} = -\pi e^{-i}$$
-===== 2.5 初等解析函数 =====
+总和：
+$$= \pi(e^i - e^{-i}) = 2\pi i\sin 1$$
-==== 2.5.1 指数函数 ====
+**例3.5** 计算 $\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^3}dz$。
-**定义 2.6**（复指数函数）
+**解**：由高阶导数公式，$n = 2$：
-$$e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)$$
+$$\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^3}dz = \frac{2\pi i}{2!}(\cos z)''|_{z=0} = \pi i \cdot (-\cos 0) = -\pi i$$
-**性质**：
+**例3.6** 设 $f(z)$ 在 $|z| \leq R$ 上解析，证明：
-  * $|e^z| = e^x > 0$，故 $e^z \neq 0$
+$$f(z) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(Re^{i\theta})\frac{R^2 - |z|^2}{|Re^{i\theta} - z|^2}d\theta$$
-  * $\arg(e^z) = y$
-  * $e^{z_1} \cdot e^{z_2} = e^{z_1+z_2}$
-  * $\frac{e^{z_1}}{e^{z_2}} = e^{z_1-z_2}$
-  * $(e^z)^n = e^{nz}$（$n \in \mathbb{Z}$）
-  * $e^{z+2\pi i} = e^z$（**周期性**，周期为 $2\pi i$）
-  * $\frac{d}{dz}e^z = e^z$
-**注意**：$e^z$ 是周期函数，这与实指数函数不同！
+（Poisson积分公式，调和函数的边值表示）
-==== 2.5.2 对数函数 ====
+**证明概要**：利用柯西积分公式和共轭对称性推导。
-**定义 2.7**（复对数函数）
+===== 3.6 习题 =====
-满足 $e^w = z$（$z \neq 0$）的 $w$ 称为 $z$ 的**对数**，记作 $w = \text{Ln } z$。
-设 $z = re^{i\theta}$，$w = u + iv$，则：
+**一、基础练习**
-$$e^{u+iv} = e^u \cdot e^{iv} = re^{i\theta}$$
-得：$e^u = r$，即 $u = \ln r = \ln|z|$，$v = \theta + 2k\pi = \text{Arg } z$（$k \in \mathbb{Z}$）。
+. 计算 $\int_C \text{Re}(z)dz$，其中 $C$ 为：
-所以：
+(a) 从 $0$ 到 $1+i$ 的直线段
-$$\text{Ln } z = \ln|z| + i\text{Arg } z = \ln|z| + i(\arg z + 2k\pi)$$
-**主值**：
+(b) 从 $0$ 到 $1$ 再到 $1+i$ 的折线
-$$\ln z = \ln|z| + i\arg z \quad (-\pi < \arg z \leq \pi)$$
-**性质**：
+. 计算下列积分：
-  * 多值函数，有无穷多个分支
-  * $\text{Ln}(z_1 z_2) = \text{Ln } z_1 + \text{Ln } z_2$（集合意义下）
-  * $\text{Ln}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \text{Ln } z_1 - \text{Ln } z_2$
-  * $\frac{d}{dz}\ln z = \frac{1}{z}$（在单值分支内）
-==== 2.5.3 幂函数 ====
+(a) $\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+2z+4}$
-**定义 2.8**（复幂函数）
+(b) $\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z(z-1)}dz$
-$$z^a = e^{a \cdot \text{Ln } z} = e^{a(\ln|z| + i\arg z + 2k\pi i)}$$
-其中 $a$ 为复常数，$z \neq 0$。
+(c) $\oint_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^4}dz$
-**特殊情形**：
+. 设 $f(z)$ 在 $|z| < 2$ 内解析，且 $f(0) = 1$，$f'(0) = 2$，计算：
-  * $a = n \in \mathbb{Z}$：单值函数
-  * $a = \frac{1}{n}$：$n$ 个值（$n$ 次方根）
-  * $a$ 为无理数或虚数：无穷多值
-**例**：$i^i = e^{i\text{Ln } i} = e^{i \cdot i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)} = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)}$
+$$\oint_{|z|=1}\frac{f(z)}{z^2}dz$$
-主值为 $e^{-\pi/2}$（实数！）。
+**二、思考题**
-==== 2.5.4 三角函数 ====
+. 设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析且不为零，$C$ 为 $D$ 内简单闭曲线，证明：
-**定义 2.9**（复三角函数）
+$$\oint_C \frac{f'(z)}{f(z)}dz = 0$$
-$$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$$
-**性质**：
-  * 周期性：周期为 $2\pi$
-  * 奇偶性：$\sin(-z) = -\sin z$，$\cos(-z) = \cos z$
-  * 恒等式：$\sin^2 z + \cos^2 z = 1$ 仍成立
-  * 加法公式成立
-  * **无界性**：$|\sin z|$ 和 $|\cos z|$ 可以任意大
-例如：$\cos(iy) = \frac{e^{-y} + e^{y}}{2} = \cosh y \to \infty$（当 $y \to \infty$）
-其他三角函数：
-$$\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}, \quad \cot z = \frac{\cos z}{\sin z}$$
-==== 2.5.5 双曲函数 ====
-**定义 2.10**（复双曲函数）
-$$\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}, \quad \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}$$
-**与三角函数的关系**：
-$$\sinh(iz) = i\sin z, \quad \cosh(iz) = \cos z$$
-$$\sin(iz) = i\sinh z, \quad \cos(iz) = \cosh z$$
-==== 2.5.6 反三角函数与反双曲函数 ====
-**反三角函数**：
-$$\text{Arcsin } z = -i\text{Ln}(iz + \sqrt{1-z^2})$$
-$$\text{Arccos } z = -i\text{Ln}(z + \sqrt{z^2-1})$$
-$$\text{Arctan } z = \frac{i}{2}\text{Ln}\frac{i+z}{i-z}$$
-===== 2.6 典型例题 =====
-**例2.4** 证明若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析且 $|f(z)|$ 为常数，则 $f(z)$ 为常数。
-**证明**：设 $|f(z)|^2 = u^2 + v^2 = C$（常数）。
-若 $C = 0$，则 $f(z) = 0$。
-若 $C \neq 0$，对 $x$ 和 $y$ 求偏导：
-$$u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad u\frac{\partial u}{\partial y} + v\frac{\partial v}{\partial y} = 0$$
-利用C-R条件 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$，$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x}$：
-$$u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial x} = 0$$
-$$-u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$
-这是关于 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x}$ 的齐次线性方程组，系数行列式为：
-$$\begin{vmatrix} u & v \\ v & -u \end{vmatrix} = -u^2 - v^2 = -C \neq 0$$
-故有唯一零解：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x} = 0$。
-由C-R条件，$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} = 0$。
-所以 $u, v$ 均为常数，$f(z)$ 为常数。
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-**例2.5** 研究 $f(z) = \sqrt{|\text{Im}(z^2)|}$ 在 $z = 0$ 处的可导性。
-**解**：设 $z = x + iy$，则 $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$，$\text{Im}(z^2) = 2xy$。
-$$f(z) = \sqrt{|2xy|}$$
-在 $z = 0$（即 $x = y = 0$）处：
-$$\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(0,0)} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{0} - 0}{x} = 0$$
-同理 $\frac{\partial f}{\partial y}|_{(0,0)} = 0$。
-C-R条件在形式上满足（都是0）。
-但考察：
-$$\lim_{z \to 0}\frac{f(z) - f(0)}{z} = \lim_{z \to 0}\frac{\sqrt{|2xy|}}{x+iy}$$
-沿 $y = x$ 路径：
-$$= \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{2x^2}}{x(1+i)} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{2}|x|}{x(1+i)}$$
-此极限不存在（左右极限符号不同），故 $f(z)$ 在 $z = 0$ 不可导。
-===== 2.7 习题 =====
-**一、基础练习**
-. 用导数定义求 $f(z) = z^2$ 的导数。
-. 判断下列函数在何处可导、何处解析：
-   (a) $f(z) = x^2 + iy^2$
-   (b) $f(z) = 2xy + i(x^2 - y^2)$
-   (c) $f(z) = |z|^2$
-. 验证 $u(x, y) = e^x\cos y$ 是调和函数，并求其共轭调和函数。
-. 证明 $f(z) = \sqrt{|xy|}$ 在 $z = 0$ 处满足C-R条件但不可导。
-**二、思考题**
-. 若 $f(z)$ 解析，证明 $\overline{f(\bar{z})}$ 也解析。
+. 用Liouville定理证明：非常数的整函数的值域在复平面上稠密。
-. 设 $f(z) = u + iv$ 解析，且 $u^2 + v^2$ 为常数，证明 $f(z)$ 为常数。
+. 设 $f(z)$ 在 $|z| \leq 1$ 上解析，$|f(z)| \leq 1$，且 $f(0) = 0$，证明 $|f'(0)| \leq 1$（Schwarz引理的特例）。
-. 证明：若 $f(z)$ 在上半平面解析，则 $\overline{f(\bar{z})}$ 在下半平面解析。
+**三、应用题**
-. 求所有的整函数（在全平面解析的函数）$f(z)$，使得 $|f(z)| \leq M|z|^n$ 对某个 $n \geq 0$ 成立。
+. 计算 $\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{(z-1)(z^2+4)}dz$。
-**三、计算题**
+. 设 $u$ 为区域 $D$ 内的调和函数，$C$ 为 $D$ 内以 $z_0$ 为中心的圆周，证明：
-. 计算：
+$$u(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(z_0 + re^{i\theta})d\theta$$
-   (a) $\text{Ln}(1+i)$
-   (b) $(-1)^{\sqrt{2}}$
-   (c) $\cos(1+i)$
-. 确定下列多值函数的单值分支：
+（调和函数的平均值性质）
-    (a) $\sqrt{z(z-1)}$ 在 $|z| > 1$
-    (b) $\text{Ln}\frac{z-1}{z+1}$ 在沿 $[-1, 1]$ 割开的平面
 ===== 本章小结 =====
-  * 复变函数可导要求比实函数更严格（路径无关）
+  * 复积分是研究解析函数的重要工具
-  * 解析函数在其定义域内无限次可导（后续证明）
+  * 柯西积分定理：解析函数沿闭曲线的积分为零
-  * C-R条件是解析的充要条件
+  * 柯西积分公式：解析函数由边界值完全确定
-  * 解析函数的实部和虚部是共轭调和函数
+  * 解析函数具有任意阶导数，这是与实函数的本质区别
-  * 初等复变函数推广了实函数，但具有新的性质（如周期性、多值性）
+  * Liouville定理、代数基本定理等重要结果都可由积分理论导出
-**下章预告**：第三章将介绍复变函数的积分理论，这是复变函数最核心的内容之一。
+**下章预告**：第四章将研究解析函数的级数展开，包括泰勒级数和洛朗级数。

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