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| 初级程序员考试 [2026/06/16 22:54] – [十进制与其他进制之间的转换] 张叶安 | 初级程序员考试 [2026/06/17 00:02] (当前版本) – 张叶安 | ||
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| + | 202606162300 | ||
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| + | 120节，一天4节，30天看完。 | ||
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| ====== 进制 ====== | ====== 进制 ====== | ||
| 行 24: | 行 28: | ||
| |公式|$N_0 = N$ \\ $N_{i+1} = \lfloor N_i / R \rfloor \quad (i = 0, | |公式|$N_0 = N$ \\ $N_{i+1} = \lfloor N_i / R \rfloor \quad (i = 0, | ||
| |停止条件|当 $N_{i+1} = 0 $时停止，最后得到的余数 $d_{m-1}$ 作为最高位。|精确转换：当 F_{i+1} = 0 时停止（小数部分乘尽） \\ 近似转换：达到所需精度位数时停止（如保留 n 位小数）| | |停止条件|当 $N_{i+1} = 0 $时停止，最后得到的余数 $d_{m-1}$ 作为最高位。|精确转换：当 F_{i+1} = 0 时停止（小数部分乘尽） \\ 近似转换：达到所需精度位数时停止（如保留 n 位小数）| | ||
| - | | 示例 |十进制 19 转二进制 (R=2) \\ 19 ÷ 2 = 9 余 1 (d_0) \\ 9 ÷ 2 = 4 余 1 (d_1) \\ 4 ÷ 2 = 2 余 0 (d_2) \\ 2 ÷ 2 = 1 余 0 (d_3) \\ 1 ÷ 2 = 0 余 1 (d_4) 停止 \\ 结果： $(10011)_2$ | 十进制 0.625 转二进制 (R=2) \\ 0.625 × 2 = 1.25 → 整数部分 1 (d_{-1})，剩余 0.25 \\ 0.25 × 2 = 0.5 → 整数部分 0 (d_{-2})，剩余 0.5 \\ 0.5 × 2 = 1.0 → 整数部分 1 (d_{-3})，剩余 0.0 停止 \\ 结果： (0.101)_2 | | + | | 示例 |十进制 19 转二进制 (R=2) \\ 19 ÷ 2 = 9 余 1 $(d_0)$ \\ 9 ÷ 2 = 4 余 1 $(d_1)$ \\ 4 ÷ 2 = 2 余 0 $(d_2)$ \\ 2 ÷ 2 = 1 余 0 $(d_3)$ \\ 1 ÷ 2 = 0 余 1 $(d_4)$ 停止 \\ 结果： $(10011)_2$ | 十进制 0.625 转二进制 (R=2) \\ 0.625 × 2 = 1.25 → 整数部分 1 $(d_{-1})$，剩余 0.25 \\ 0.25 × 2 = 0.5 → 整数部分 0 $(d_{-2})$，剩余 0.5 \\ 0.5 × 2 = 1.0 → 整数部分 1 $(d_{-3})$，剩余 0.0 停止 \\ 结果： |
| 若数含整数部分 N 和小数部分 F，则： | 若数含整数部分 N 和小数部分 F，则： | ||
| 行 32: | 行 36: | ||
| 两部分分别转换，最后用小数点拼接。 | 两部分分别转换，最后用小数点拼接。 | ||
| - | 示例： 19.625 转二进制 = (10011)_2 + (0.101)_2 = (10011.101)_2 | + | 示例： 19.625 转二进制 = $(10011)_2 + (0.101)_2 = (10011.101)_2 |
| 特殊情况：无限循环 | 特殊情况：无限循环 | ||
| 行 43: | 行 47: | ||
| ====== 二、八、十六进制之间的转换 ====== | ====== 二、八、十六进制之间的转换 ====== | ||
| + | |||
| + | ^ 转换方向 ^ 方法 ^ 示例 ^ | ||
| + | | 二进制 → 八进制 | 整数部分**从右往左**，小数部分**从左往右**，每 **3 位**一组，不足补 0， \\ 每组换 1 位八进制 | (10 111 101.010 1)₂ = (275.24)₈ | | ||
| + | | 八进制 → 二进制 | 每位八进制数展开成 **3 位**二进制（高位补 0） | (275.24)₈ = (010 111 101.010 100)₂ | | ||
| + | | 二进制 → 十六进制 | 整数部分**从右往左**，小数部分**从左往右**，每 **4 位**一组，不足补 0， \\ 每组换 1 位十六进制 | (1011 1101.0101)₂ = (BD.5)₁₆ | | ||
| + | | 十六进制 → 二进制 | 每位十六进制数展开成 **4 位**二进制（高位补 0） | (BD.5)₁₆ = (1011 1101.0101)₂ | | ||
| + | | 八进制 ↔ 十六进制 | **以二进制为桥梁**：八进制→二进制→十六进制（反之亦然） | (275)₈ → (010111101)₂ → (0BD)₁₆ = (BD)₁₆ | | ||
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| + | ====== 含符号数值的表示 ====== | ||
| + | ^ 码制 ^ 转换规则 ^ -25 ^ +25 ^ 特点 ^ 主要用途 ^ | ||
| + | | 原码 | 符号位(最左一位)：0正1负 \\ 数值位：真值的绝对值 | 10011001 | 00011001 | 0有+0和-0两种表示 | **人类直观理解**，\\ 用于输入输出显示，不参与运算 | | ||
| + | | 反码 | 正数：同原码 \\ 负数：符号位不变，数值位按位取反 | 11100110 | 00011001 | 0有两种表示，加减需循环进位 | **中间过渡桥梁** \\ 补码的中间步骤，现代计算机不用 | | ||
| + | | 补码 | 正数：同原码 \\ 负数：反码末位+1（符号位不变） | 11100111 | 00011001 | **计算机实际使用**，\\ 0唯一，减法统一为加法 | **整数运算核心** \\ CPU中的整数都用补码表示和计算 | | ||
| + | | 移码 | **补码符号位取反** \\ （数值位不变） | 01100111 | 10011001 | 便于浮点数阶码比较，0唯一 | **浮点数阶码** \\ 便于比较指数大小（IEEE 754标准使用） | | ||
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| + | 以 8位补码 计算 10 - 25 = -15 为例，走一遍完整的二进制演算过程： | ||
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| + | 第1步：找 +10 的补码 | ||
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| + | +10 是正数，补码 = 原码 = 00001010 | ||
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| + | 第2步：找 -25 的补码（核心） | ||
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| + | · +25 的原码：00011001 | ||
| + | |||
| + | · 取反得反码：11100110 | ||
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| + | · 末位 +1 得补码：11100111（这就是 -25 的补码表示） | ||
| + | |||
| + | 第3步：执行加法（CPU 实际做的事） | ||
| + | |||
| + | < | ||
| + | 00001010 | ||
| + | + 11100111 | ||
| + | ──────────── | ||
| + | 11110001 | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | 第4步：将结果补码转回十进制（验证） | ||
| + | |||
| + | · 结果 11110001，符号位为 1（负数） | ||
| + | |||
| + | · 末位 -1 得反码：11110000 | ||
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| + | · 取反得原码：10001111（符号位1不变，数值位 0001111 = 15） | ||
| + | |||
| + | · 所以结果是 -15 ✅ | ||
| + | |||
| + | 额外观察：溢出处理 | ||
| + | |||
| + | 这次计算中，最高位（第8位）没有产生进位，所以结果是正确的。 | ||
| + | |||
| + | 如果计算 125 + 125 = 250（超出127范围）： | ||
| + | |||
| + | < | ||
| + | 01111101 | ||
| + | + 01111101 | ||
| + | ──────────── | ||
| + | 11111010 | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | 符号位从 0 变成 1，产生了溢出，CPU 的溢出标志位（OF） 会置1提醒。 | ||
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| + | ====== ±0的表示 ====== | ||
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| + | ^ 码制 ^ +0 的表示 ^ -0 的表示 ^ 是否唯一 ^ | ||
| + | | 原码 | 00000000 | 10000000 | 不唯一 ❌ | | ||
| + | | 反码 | 00000000 | 11111111 | 不唯一 ❌ | | ||
| + | | 补码 | 00000000 | 00000000 | 唯一 ✅ | | ||
| + | | 移码 | 10000000 | 10000000 | 唯一 ✅ | | ||
| + | |||
| + | ====== 表示范围 ====== | ||
| + | |||
| + | ^ 码制 ^ 表示范围（8位） ^ 表示范围（n位） ^ 特殊说明 ^ | ||
| + | | 原码 | $-(2^7 - 1) ~ +(2^7 - 1) $ \\ **-127 ~ +127** | ||
| + | | 反码 | $-(2^7 - 1) ~ +(2^7 - 1) $ \\ **-127 ~ +127** | $-(2^{n-1} - 1) ~ +(2^{n-1} - 1) $ | +0 和 -0 占两个编码，对称分布 | | ||
| + | | 补码 | $-2^7 ~ +(2^7 - 1) $ \\ **-128 ~ +127** | $-2^{n-1} ~ +(2^{n-1} - 1) $ | **多表示一个最小负数**（如 -128），0唯一 | | ||
| + | | 移码 | $-2^7 ~ +(2^7 - 1) $ \\ **-128 ~ +127** | $ -2^{n-1} ~ +(2^{n-1} - 1) $ | 0唯一，便于浮点数阶码比较 | | ||
| + | |||
| + | 因为 补码和移码0唯一，没有100000000这个数，所以人为规定-128为100000000。 | ||
张叶安