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| 偏微分方程:热传导方程 [2026/02/21 14:33] – [4.9 典型例题] 张叶安 | 偏微分方程:热传导方程 [2026/02/21 14:34] (当前版本) – [4.10 习题] 张叶安 | ||
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| 行 312: | 行 312: | ||
| 1. 验证一维热核 $K(x, t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} e^{-x^2/ | 1. 验证一维热核 $K(x, t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} e^{-x^2/ | ||
| - | (a) $K_t = K_{xx}$ | + | |
| - | | + | (a) $K_t = K_{xx}$ |
| - | | + | |
| + | (b) $\int_{-\infty}^{\infty} K(x, t) \, dx = 1$ | ||
| + | |||
| + | (c) 当 $t \to 0^+$ 时，$K(x, t) \to \delta(x)$ | ||
| 2. 用 Poisson 公式求解： | 2. 用 Poisson 公式求解： | ||
| - | (a) $u_t = u_{xx}$，$u(x, | + | |
| - | | + | (a) $u_t = u_{xx}$，$u(x, |
| + | |||
| + | (b) $u_t = u_{xx}$，$u(x, | ||
| **二、最大值原理** | **二、最大值原理** | ||
| 行 329: | 行 334: | ||
| 5. 求解： | 5. 求解： | ||
| - | $$\begin{cases} | + | $$\begin{cases} |
| - | | + | u_t = u_{xx}, & 0 < x < 1, t > 0 \\ |
| - | | + | u_x(0, t) = u_x(1, t) = 0 \\ |
| - | | + | u(x, 0) = x |
| - | | + | \end{cases}$$ |
| 6. 求解二维热传导方程在单位圆盘上的第一边值问题。 | 6. 求解二维热传导方程在单位圆盘上的第一边值问题。 | ||
| 行 340: | 行 345: | ||
| 7. 设 $u$ 满足 $u_t = \Delta u$ 在 $\Omega \times (0, T]$ 上，$u|_{\partial \Omega} = 0$。 | 7. 设 $u$ 满足 $u_t = \Delta u$ 在 $\Omega \times (0, T]$ 上，$u|_{\partial \Omega} = 0$。 | ||
| - | (a) 证明 $\frac{d}{dt} \int_\Omega u^2 \, dx \leq -2 \int_\Omega |\nabla u|^2 \, dx$ | + | |
| - | | + | (a) 证明 $\frac{d}{dt} \int_\Omega u^2 \, dx \leq -2 \int_\Omega |\nabla u|^2 \, dx$ |
| + | |||
| + | (b) 利用 Poincaré 不等式证明指数衰减 | ||
| 8. 考虑 Robin 边界条件 $\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u = 0$（$\sigma > 0$）。证明能量衰减。 | 8. 考虑 Robin 边界条件 $\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u = 0$（$\sigma > 0$）。证明能量衰减。 | ||
| 行 350: | 行 357: | ||
| 10. **非线性扩散**：考虑 $u_t = (u^m)_{xx}$（多孔介质方程，$m > 1$）。 | 10. **非线性扩散**：考虑 $u_t = (u^m)_{xx}$（多孔介质方程，$m > 1$）。 | ||
| - | | + | |
| - | (b) 讨论解的有限传播速度性质（与线性热传导对比） | + | (a) 寻找自相似解 $u(x, t) = t^{-\alpha} f(x t^{-\beta})$ |
| + | |||
| + | (b) 讨论解的有限传播速度性质（与线性热传导对比） | ||
| ===== 本章小结 ===== | ===== 本章小结 ===== | ||
张叶安