偏微分方程:热传导方程

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偏微分方程:热传导方程 [2026/02/19 17:45] – 创建 张叶安偏微分方程:热传导方程 [2026/02/21 14:34] (当前版本) – [4.10 习题] 张叶安
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 解为：$u(x, t) = e^{-t} \sin x$ 解为：$u(x, t) = e^{-t} \sin x$
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 **例 4.2** 用 Poisson 公式求解： **例 4.2** 用 Poisson 公式求解：
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 $$u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{1+4t}} \exp\left(-\frac{x^2}{1+4t}\right)$$ $$u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{1+4t}} \exp\left(-\frac{x^2}{1+4t}\right)$$
  
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 **例 4.3** 证明热核满足半群性质。 **例 4.3** 证明热核满足半群性质。
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 1. 验证一维热核 $K(x, t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} e^{-x^2/4t}$ 满足： 1. 验证一维热核 $K(x, t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} e^{-x^2/4t}$ 满足：
-   (a) $K_t = K_{xx}$ + 
-   (b) $\int_{-\infty}^{\infty} K(x, t) \, dx = 1$ +(a) $K_t = K_{xx}$ 
-   (c) 当 $t \to 0^+$ 时，$K(x, t) \to \delta(x)$+ 
 +(b) $\int_{-\infty}^{\infty} K(x, t) \, dx = 1$ 
 + 
 +(c) 当 $t \to 0^+$ 时，$K(x, t) \to \delta(x)$
  
 2. 用 Poisson 公式求解： 2. 用 Poisson 公式求解：
-   (a) $u_t = u_{xx}$，$u(x, 0) = \sin x$ + 
-   (b) $u_t = u_{xx}$，$u(x, 0) = \begin{cases} 1, & |x| < 1 \\ 0, & |x| > 1 \end{cases}$+(a) $u_t = u_{xx}$，$u(x, 0) = \sin x$ 
 + 
 +(b) $u_t = u_{xx}$，$u(x, 0) = \begin{cases} 1, & |x| < 1 \\ 0, & |x| > 1 \end{cases}$
  
 **二、最大值原理** **二、最大值原理**
行 332: 行 334:
  
 5. 求解： 5. 求解：
-   $$\begin{cases} +$$\begin{cases} 
-   u_t = u_{xx}, & 0 < x < 1, t > 0 \\ +u_t = u_{xx}, & 0 < x < 1, t > 0 \\ 
-   u_x(0, t) = u_x(1, t) = 0 \\ +u_x(0, t) = u_x(1, t) = 0 \\ 
-   u(x, 0) = x +u(x, 0) = x 
-   \end{cases}$$+\end{cases}$$
  
 6. 求解二维热传导方程在单位圆盘上的第一边值问题。 6. 求解二维热传导方程在单位圆盘上的第一边值问题。
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 7. 设 $u$ 满足 $u_t = \Delta u$ 在 $\Omega \times (0, T]$ 上，$u|_{\partial \Omega} = 0$。 7. 设 $u$ 满足 $u_t = \Delta u$ 在 $\Omega \times (0, T]$ 上，$u|_{\partial \Omega} = 0$。
-   (a) 证明 $\frac{d}{dt} \int_\Omega u^2 \, dx \leq -2 \int_\Omega |\nabla u|^2 \, dx$ + 
-   (b) 利用 Poincaré 不等式证明指数衰减+(a) 证明 $\frac{d}{dt} \int_\Omega u^2 \, dx \leq -2 \int_\Omega |\nabla u|^2 \, dx$ 
 + 
 +(b) 利用 Poincaré 不等式证明指数衰减
  
 8. 考虑 Robin 边界条件 $\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u = 0$（$\sigma > 0$）。证明能量衰减。 8. 考虑 Robin 边界条件 $\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u = 0$（$\sigma > 0$）。证明能量衰减。
行 353: 行 357:
  
 10. **非线性扩散**：考虑 $u_t = (u^m)_{xx}$（多孔介质方程，$m > 1$）。 10. **非线性扩散**：考虑 $u_t = (u^m)_{xx}$（多孔介质方程，$m > 1$）。
-    (a) 寻找自相似解 $u(x, t) = t^{-\alpha} f(x t^{-\beta})$ + 
-    (b) 讨论解的有限传播速度性质（与线性热传导对比）+(a) 寻找自相似解 $u(x, t) = t^{-\alpha} f(x t^{-\beta})$ 
 + 
 +(b) 讨论解的有限传播速度性质（与线性热传导对比）
  
 ===== 本章小结 ===== ===== 本章小结 =====
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  • 最后更改: 2026/02/19 17:45
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