偏微分方程:波动方程

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偏微分方程:波动方程 [2026/02/19 17:44] – 创建 张叶安偏微分方程:波动方程 [2026/02/21 14:31] (当前版本) – [3.9 习题] 张叶安
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 $$= \sin x \cos 2t + \frac{1}{2} \cos x \sin 2t$$ $$= \sin x \cos 2t + \frac{1}{2} \cos x \sin 2t$$
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 **例 3.2** 求解半无限弦问题： **例 3.2** 求解半无限弦问题：
行 324: 行 322:
 对 $0 < x < ct$（已受边界影响）： 对 $0 < x < ct$（已受边界影响）：
 $$u(x, t) = \frac{e^{-(x+ct)} - e^{-(ct-x)}}{2} = -e^{-ct} \sinh(x)$$ $$u(x, t) = \frac{e^{-(x+ct)} - e^{-(ct-x)}}{2} = -e^{-ct} \sinh(x)$$
- 
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 **例 3.3** 证明波动方程的解满足： **例 3.3** 证明波动方程的解满足：
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 1. 用达朗贝尔公式求解下列 Cauchy 问题： 1. 用达朗贝尔公式求解下列 Cauchy 问题：
-   (a) $u_{tt} = u_{xx}$，$u(x, 0) = x^2$，$u_t(x, 0) = x$ + 
-   (b) $u_{tt} = 9 u_{xx}$，$u(x, 0) = \sin x$，$u_t(x, 0) = 3 \cos x$ +(a) $u_{tt} = u_{xx}$，$u(x, 0) = x^2$，$u_t(x, 0) = x$ 
-   (c) $u_{tt} = 4 u_{xx}$，$u(x, 0) = 0$，$u_t(x, 0) = \frac{1}{1 + x^2}$+ 
 +(b) $u_{tt} = 9 u_{xx}$，$u(x, 0) = \sin x$，$u_t(x, 0) = 3 \cos x$ 
 + 
 +(c) $u_{tt} = 4 u_{xx}$，$u(x, 0) = 0$，$u_t(x, 0) = \frac{1}{1 + x^2}$
  
 2. 设 $u$ 满足 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$，初值 $u(x, 0) = \varphi(x)$，$u_t(x, 0) = 0$。 2. 设 $u$ 满足 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$，初值 $u(x, 0) = \varphi(x)$，$u_t(x, 0) = 0$。
-   (a) 证明 $u(x, t) = \frac{1}{2}[\varphi(x+ct) + \varphi(x-ct)]$ + 
-   (b) 当 $\varphi(x) = |x|$（$|x| \leq 1$，否则为 0），画出 $u(x, t)$ 在不同时刻的波形+(a) 证明 $u(x, t) = \frac{1}{2}[\varphi(x+ct) + \varphi(x-ct)]$ 
 + 
 +(b) 当 $\varphi(x) = |x|$（$|x| \leq 1$，否则为 0），画出 $u(x, t)$ 在不同时刻的波形
  
 **二、能量方法** **二、能量方法**
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 4. 考虑带阻尼的波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx} - 2\gamma u_t$（$\gamma > 0$）。 4. 考虑带阻尼的波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx} - 2\gamma u_t$（$\gamma > 0$）。
-   (a) 定义能量并计算 $\frac{dE}{dt}$ + 
-   (b) 证明能量随时间衰减+(a) 定义能量并计算 $\frac{dE}{dt}$ 
 + 
 +(b) 证明能量随时间衰减
  
 **三、分离变量法** **三、分离变量法**
  
 5. 用分离变量法求解： 5. 用分离变量法求解：
-   $$\begin{cases} +$$\begin{cases} 
-   u_{tt} = u_{xx}, & 0 < x < \pi, t > 0 \\ +u_{tt} = u_{xx}, & 0 < x < \pi, t > 0 \\ 
-   u(0, t) = u(\pi, t) = 0 \\ +u(0, t) = u(\pi, t) = 0 \\ 
-   u(x, 0) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x, \quad u_t(x, 0) = 0 +u(x, 0) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x, \quad u_t(x, 0) = 0 
-   \end{cases}$$+\end{cases}$$
  
 6. 求解 Neumann 边值问题： 6. 求解 Neumann 边值问题：
-   $$\begin{cases} +$$\begin{cases} 
-   u_{tt} = c^2 u_{xx}, & 0 < x < L, t > 0 \\ +u_{tt} = c^2 u_{xx}, & 0 < x < L, t > 0 \\ 
-   u_x(0, t) = u_x(L, t) = 0 \\ +u_x(0, t) = u_x(L, t) = 0 \\ 
-   u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x) +u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x) 
-   \end{cases}$$+\end{cases}$$
  
 **四、高维问题** **四、高维问题**
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 9. 考虑非齐次波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx} + f(x, t)$。 9. 考虑非齐次波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx} + f(x, t)$。
-   (a) 用 Duhamel 原理推导解的公式 + 
-   (b) 求解 $f(x, t) = \sin x \cos t$，初值为零的问题+(a) 用 Duhamel 原理推导解的公式 
 + 
 +(b) 求解 $f(x, t) = \sin x \cos t$，初值为零的问题
  
 10. **波的干涉**：设 $u_1$ 和 $u_2$ 是两个满足相同波动方程的解。证明它们的叠加 $u = u_1 + u_2$ 也是解，并讨论干涉现象。 10. **波的干涉**：设 $u_1$ 和 $u_2$ 是两个满足相同波动方程的解。证明它们的叠加 $u = u_1 + u_2$ 也是解，并讨论干涉现象。
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  • 最后更改: 2026/02/19 17:44
  • 由 张叶安