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| 偏微分方程:偏微分方程的基本概念 [2026/02/21 14:21] – [1.2.2 按线性性质分类] 张叶安 | 偏微分方程:偏微分方程的基本概念 [2026/02/21 14:25] (当前版本) – [1.7 习题] 张叶安 | ||
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| 行 86: | 行 86: | ||
| 对任意常数 $\alpha, \beta$ 和函数 $u, v$ 成立，则称方程为**线性偏微分方程**。 | 对任意常数 $\alpha, \beta$ 和函数 $u, v$ 成立，则称方程为**线性偏微分方程**。 | ||
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| * 如果 $L$ 不是线性算子，则称方程为**非线性偏微分方程**。 | * 如果 $L$ 不是线性算子，则称方程为**非线性偏微分方程**。 | ||
| 行 321: | 行 320: | ||
| 验证完毕。 | 验证完毕。 | ||
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| **例 1.3** 判断方程 $x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ 的类型。 | **例 1.3** 判断方程 $x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ 的类型。 | ||
| 行 333: | 行 331: | ||
| 因此，该方程在 $(x, y) \neq (0, 0)$ 时是**抛物型**的。 | 因此，该方程在 $(x, y) \neq (0, 0)$ 时是**抛物型**的。 | ||
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| **例 1.4** 验证 $u(x, t) = \sin(x - ct)$ 满足一维波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$。 | **例 1.4** 验证 $u(x, t) = \sin(x - ct)$ 满足一维波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$。 | ||
| 行 345: | 行 342: | ||
| 验证完毕。 | 验证完毕。 | ||
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| **例 1.5** 设 $u(x, t)$ 满足热传导方程 $u_t = k u_{xx}$，证明 $v(x, t) = u(\lambda x, \lambda^2 t)$ 也是解（对任意常数 $\lambda$）。 | **例 1.5** 设 $u(x, t)$ 满足热传导方程 $u_t = k u_{xx}$，证明 $v(x, t) = u(\lambda x, \lambda^2 t)$ 也是解（对任意常数 $\lambda$）。 | ||
| 行 359: | 行 354: | ||
| 故 $v$ 也是热传导方程的解。 | 故 $v$ 也是热传导方程的解。 | ||
| - | |||
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| **例 1.6** 判断以下问题的适定性： | **例 1.6** 判断以下问题的适定性： | ||
| 行 382: | 行 375: | ||
| 1. 验证下列函数是否是对应方程的解： | 1. 验证下列函数是否是对应方程的解： | ||
| - | (a) $u(x, t) = e^{-k t} \sin x$，方程 $u_t = k u_{xx}$ | + | |
| - | | + | (a) $u(x, t) = e^{-k t} \sin x$，方程 $u_t = k u_{xx}$ |
| - | | + | |
| + | (b) $u(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$，方程 $\Delta u = 0$（$x^2 + y^2 \neq 0$） | ||
| + | |||
| + | (c) $u(x, t) = f(x - ct)$（$f$ 是任意可微函数），方程 $u_t + c u_x = 0$ | ||
| 2. 判断下列方程的阶数、线性/ | 2. 判断下列方程的阶数、线性/ | ||
| - | (a) $u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = e^u$ | + | |
| - | | + | (a) $u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = e^u$ |
| - | | + | |
| - | | + | (b) $u_t = u u_{xx} + u_x^2$ |
| + | |||
| + | (c) $\Delta^2 u = f(x, y)$ | ||
| + | |||
| + | (d) $\sqrt{1 + u_x^2} + \sqrt{1 + u_y^2} = 1$ | ||
| **二、分类练习** | **二、分类练习** | ||
| 3. 判断下列二阶方程的类型（椭圆型/ | 3. 判断下列二阶方程的类型（椭圆型/ | ||
| - | (a) $u_{xx} + 2 u_{xy} + u_{yy} = 0$ | + | |
| - | | + | (a) $u_{xx} + 2 u_{xy} + u_{yy} = 0$ |
| - | | + | |
| - | | + | (b) $u_{xx} - 3 u_{xy} + 2 u_{yy} = 0$ |
| + | |||
| + | (c) $y u_{xx} + u_{yy} = 0$ | ||
| + | |||
| + | (d) $u_{xx} + x u_{yy} = 0$ | ||
| 4. 对于方程 $a(x, y) u_{xx} + 2b(x, y) u_{xy} + c(x, y) u_{yy} = 0$，证明判别式 $D = b^2 - ac$ 在自变量变换下保持符号不变。 | 4. 对于方程 $a(x, y) u_{xx} + 2b(x, y) u_{xy} + c(x, y) u_{yy} = 0$，证明判别式 $D = b^2 - ac$ 在自变量变换下保持符号不变。 | ||
| 行 405: | 行 409: | ||
| 5. 写出下列问题的定解条件类型： | 5. 写出下列问题的定解条件类型： | ||
| - | (a) 弦振动问题：给定弦的初始位移和初始速度，两端固定 | + | |
| - | | + | (a) 弦振动问题：给定弦的初始位移和初始速度，两端固定 |
| - | | + | |
| + | (b) 热传导问题：给定初始温度分布，边界绝热 | ||
| + | |||
| + | (c) 静电场问题：给定边界电势 | ||
| 6. 证明：对于Neumann问题 | 6. 证明：对于Neumann问题 | ||
| - | $$\begin{cases} | + | $$\begin{cases} |
| - | | + | -\Delta u = f, & \text{在 } \Omega \text{ 内} \\ |
| - | | + | \frac{\partial u}{\partial n} = g, & \text{在 } \partial \Omega \text{ 上} |
| - | | + | \end{cases}$$ |
| - | | + | |
| + | 存在解的必要条件是 $\int_\Omega f \, dx + \int_{\partial \Omega} g \, dS = 0$。 | ||
| **四、综合题** | **四、综合题** | ||
| 7. 设 $u$ 满足波动方程 $u_{tt} = c^2 \Delta u$，定义能量： | 7. 设 $u$ 满足波动方程 $u_{tt} = c^2 \Delta u$，定义能量： | ||
| - | $$E(t) = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^n} (u_t^2 + c^2 |\nabla u|^2) \, dx$$ | + | $$E(t) = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^n} (u_t^2 + c^2 |\nabla u|^2) \, dx$$ |
| - | | + | 证明 $\frac{dE}{dt} = 0$（能量守恒）。 |
| 8. 利用叠加原理，求非齐次热传导方程的通解形式： | 8. 利用叠加原理，求非齐次热传导方程的通解形式： | ||
| - | $$u_t = k u_{xx} + f(x, t)$$ | + | $$u_t = k u_{xx} + f(x, t)$$ |
| - | | + | 已知相应齐次方程有基本解族 $\{u_n(x, t)\}$。 |
| **五、思考题** | **五、思考题** | ||
张叶安