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--- 偏微分方程:偏微分方程的基本概念 [2026/02/19 17:43] – 创建张叶安
+++ 偏微分方程:偏微分方程的基本概念 [2026/02/21 14:25] (当前版本) – [1.7 习题] 张叶安
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   * 如果 $L$ 是**线性算子**，即满足：
-    $$L[\alpha u + \beta v] = \alpha L[u] + \beta L[v]$$
-    对任意常数 $\alpha, \beta$ 和函数 $u, v$ 成立，则称方程为**线性偏微分方程**。
+$$L[\alpha u + \beta v] = \alpha L[u] + \beta L[v]$$
+对任意常数 $\alpha, \beta$ 和函数 $u, v$ 成立，则称方程为**线性偏微分方程**。
   * 如果 $L$ 不是线性算子，则称方程为**非线性偏微分方程**。
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 | 方程 | 阶数 | 线性/非线性 | 齐次/非齐次 |
-|------|------|-------------|-------------|
 | $\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ | 二阶 | 线性 | 齐次 |
 | $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \Delta u + f(x,t)$ | 二阶 | 线性 | 非齐次 |
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 验证完毕。
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 **例 1.3** 判断方程 $x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ 的类型。
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 因此，该方程在 $(x, y) \neq (0, 0)$ 时是**抛物型**的。
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 **例 1.4** 验证 $u(x, t) = \sin(x - ct)$ 满足一维波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$。
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 验证完毕。
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 **例 1.5** 设 $u(x, t)$ 满足热传导方程 $u_t = k u_{xx}$，证明 $v(x, t) = u(\lambda x, \lambda^2 t)$ 也是解（对任意常数 $\lambda$）。
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 故 $v$ 也是热传导方程的解。
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 **例 1.6** 判断以下问题的适定性：
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 . 验证下列函数是否是对应方程的解：
-   (a) $u(x, t) = e^{-k t} \sin x$，方程 $u_t = k u_{xx}$
-   (b) $u(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$，方程 $\Delta u = 0$（$x^2 + y^2 \neq 0$）
+(a) $u(x, t) = e^{-k t} \sin x$，方程 $u_t = k u_{xx}$
-   (c) $u(x, t) = f(x - ct)$（$f$ 是任意可微函数），方程 $u_t + c u_x = 0$
+(b) $u(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$，方程 $\Delta u = 0$（$x^2 + y^2 \neq 0$）
+(c) $u(x, t) = f(x - ct)$（$f$ 是任意可微函数），方程 $u_t + c u_x = 0$
 . 判断下列方程的阶数、线性/非线性类型：
-   (a) $u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = e^u$
-   (b) $u_t = u u_{xx} + u_x^2$
+(a) $u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = e^u$
-   (c) $\Delta^2 u = f(x, y)$
-   (d) $\sqrt{1 + u_x^2} + \sqrt{1 + u_y^2} = 1$
+(b) $u_t = u u_{xx} + u_x^2$
+(c) $\Delta^2 u = f(x, y)$
+(d) $\sqrt{1 + u_x^2} + \sqrt{1 + u_y^2} = 1$
 **二、分类练习**
 . 判断下列二阶方程的类型（椭圆型/抛物型/双曲型）：
-   (a) $u_{xx} + 2 u_{xy} + u_{yy} = 0$
-   (b) $u_{xx} - 3 u_{xy} + 2 u_{yy} = 0$
+(a) $u_{xx} + 2 u_{xy} + u_{yy} = 0$
-   (c) $y u_{xx} + u_{yy} = 0$
-   (d) $u_{xx} + x u_{yy} = 0$
+(b) $u_{xx} - 3 u_{xy} + 2 u_{yy} = 0$
+(c) $y u_{xx} + u_{yy} = 0$
+(d) $u_{xx} + x u_{yy} = 0$
 . 对于方程 $a(x, y) u_{xx} + 2b(x, y) u_{xy} + c(x, y) u_{yy} = 0$，证明判别式 $D = b^2 - ac$ 在自变量变换下保持符号不变。
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 . 写出下列问题的定解条件类型：
-   (a) 弦振动问题：给定弦的初始位移和初始速度，两端固定
-   (b) 热传导问题：给定初始温度分布，边界绝热
+(a) 弦振动问题：给定弦的初始位移和初始速度，两端固定
-   (c) 静电场问题：给定边界电势
+(b) 热传导问题：给定初始温度分布，边界绝热
+(c) 静电场问题：给定边界电势
 . 证明：对于Neumann问题
-   $$\begin{cases}
+$$\begin{cases}
-   -\Delta u = f, & \text{在 } \Omega \text{ 内} \\
+-\Delta u = f, & \text{在 } \Omega \text{ 内} \\
-   \frac{\partial u}{\partial n} = g, & \text{在 } \partial \Omega \text{ 上}
+\frac{\partial u}{\partial n} = g, & \text{在 } \partial \Omega \text{ 上}
-   \end{cases}$$
+\end{cases}$$
-   存在解的必要条件是 $\int_\Omega f \, dx + \int_{\partial \Omega} g \, dS = 0$。
+存在解的必要条件是 $\int_\Omega f \, dx + \int_{\partial \Omega} g \, dS = 0$。
 **四、综合题**
 . 设 $u$ 满足波动方程 $u_{tt} = c^2 \Delta u$，定义能量：
-   $$E(t) = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^n} (u_t^2 + c^2 |\nabla u|^2) \, dx$$
+$$E(t) = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^n} (u_t^2 + c^2 |\nabla u|^2) \, dx$$
-   证明 $\frac{dE}{dt} = 0$（能量守恒）。
+证明 $\frac{dE}{dt} = 0$（能量守恒）。
 . 利用叠加原理，求非齐次热传导方程的通解形式：
-   $$u_t = k u_{xx} + f(x, t)$$
+$$u_t = k u_{xx} + f(x, t)$$
-   已知相应齐次方程有基本解族 $\{u_n(x, t)\}$。
+已知相应齐次方程有基本解族 $\{u_n(x, t)\}$。
 **五、思考题**

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