偏微分方程:一阶偏微分方程

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偏微分方程:一阶偏微分方程 [2026/02/19 17:44] – 创建 张叶安偏微分方程:一阶偏微分方程 [2026/02/21 14:27] (当前版本) – [2.8 习题] 张叶安
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 1. 求下列方程的通解： 1. 求下列方程的通解：
-   (a) $3 u_x + 2 u_y = 0$ + 
-   (b) $u_x - u_y = u$ +(a) $3 u_x + 2 u_y = 0$ 
-   (c) $x u_x + y u_y = 2u$ + 
-   (d) $y u_x - x u_y = 0$+(b) $u_x - u_y = u$ 
 + 
 +(c) $x u_x + y u_y = 2u$ 
 + 
 +(d) $y u_x - x u_y = 0$
  
 2. 用特征线法求解下列 Cauchy 问题： 2. 用特征线法求解下列 Cauchy 问题：
-   (a) $u_x + u_y = 0$，$u(x, 0) = \sin x$ + 
-   (b) $u_x + 2 u_y = u$，$u(0, y) = y^2$ +(a) $u_x + u_y = 0$，$u(x, 0) = \sin x$ 
-   (c) $x u_x + y u_y = 0$，$u(x, 1) = x$+ 
 +(b) $u_x + 2 u_y = u$，$u(0, y) = y^2$ 
 + 
 +(c) $x u_x + y u_y = 0$，$u(x, 1) = x$
  
 **二、首次积分** **二、首次积分**
  
 3. 用首次积分法求解： 3. 用首次积分法求解：
-   (a) $x u_x + 2y u_y = 3u$ + 
-   (b) $(y - u) u_x + (u - x) u_y = x - y$ +(a) $x u_x + 2y u_y = 3u$ 
-   (c) $u_x + u_y + u_z = u$+ 
 +(b) $(y - u) u_x + (u - x) u_y = x - y$ 
 + 
 +(c) $u_x + u_y + u_z = u$
  
 4. 证明：若 $\varphi(x, y, u) = C$ 是特征方程组的首次积分，则 $\Phi(\varphi)$ 也是首次积分（$\Phi$ 是任意可微函数）。 4. 证明：若 $\varphi(x, y, u) = C$ 是特征方程组的首次积分，则 $\Phi(\varphi)$ 也是首次积分（$\Phi$ 是任意可微函数）。
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 5. 求解 Burgers 方程 $u_t + u u_x = 0$，初值为： 5. 求解 Burgers 方程 $u_t + u u_x = 0$，初值为：
-   (a) $\varphi(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$（稀疏波） + 
-   (b) $\varphi(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$（激波）+(a) $\varphi(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$（稀疏波） 
 + 
 +(b) $\varphi(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$（激波）
  
 6. 求下列拟线性方程的通解： 6. 求下列拟线性方程的通解：
-   (a) $u u_x + u_y = 1$ + 
-   (b) $u_x + u u_y = u$+(a) $u u_x + u_y = 1$ 
 + 
 +(b) $u_x + u u_y = u$
  
 **四、综合题** **四、综合题**
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 9. **守恒律方程**：考虑 $u_t + f(u)_x = 0$。 9. **守恒律方程**：考虑 $u_t + f(u)_x = 0$。
-   (a) 当 $f(u) = \frac{u^2}{2}$ 时，验证这是 Burgers 方程 + 
-   (b) 推导 Rankine-Hugoniot 跳跃条件 +(a) 当 $f(u) = \frac{u^2}{2}$ 时，验证这是 Burgers 方程 
-   (c) 讨论熵条件的意义+ 
 +(b) 推导 Rankine-Hugoniot 跳跃条件 
 + 
 +(c) 讨论熵条件的意义
  
 **五、思考题** **五、思考题**
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  • 最后更改: 2026/02/19 17:44
  • 由 张叶安