https://www.zhuzhugst.com/ 2026-06-10T08:15:46+00:00 https://www.zhuzhugst.com/ https://www.zhuzhugst.com/lib/exe/fetch.php?media=logo.png text/html 2026-06-08T05:31:08+00:00 张叶安 (midas@undisclosed.example.com) https://www.zhuzhugst.com/doku.php?id=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90:%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F&rev=1780896668&do=diff 公式依赖线路图 泰勒公式核心定义 基本形式 设函数 $f(x)$ 在包含点 $a$ 的某个开区间内具有直到 $n+1$ 阶的导数，则对该区间内任意一点 $x$，有： $$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$ 其中： * $P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ 称为 n 阶泰勒多项式 * $R_n(x)$ 称为 余项（Remainder）$R_n(x) = o((x-a)^n)$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a)$$R_n(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)… text/html 2026-06-02T15:07:40+00:00 张叶安 (midas@undisclosed.example.com) https://www.zhuzhugst.com/doku.php?id=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90:%E7%AD%89%E4%BB%B7%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%B0%8F&rev=1780412860&do=diff 公式依赖图 等价无穷小 设 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 都是 $x \to x_0$ 时的无穷小量（即极限为 0），若： $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$$ 则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 等价，记作： $$\alpha(x) \sim \beta(x) \quad (x \to x_0)$$ 关键理解 * 等价 ≠ 相等：$\sin x \sim x$ 不代表 $\sin x = x$，而是两者趋近 0 的速度完全相同 * 比值极限为 1 意味着：$\alpha(x) = \beta(x) + o(\beta(x))$$x=0$$\sin x$$x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - ...$$\sin x \sim x$$\tan x$$x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + ...$$\tan x \sim x$$e^x$$1 + x + \frac{x^2}{2} + ..… text/html 2026-06-02T14:40:52+00:00 张叶安 (midas@undisclosed.example.com) https://www.zhuzhugst.com/doku.php?id=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90:%E6%B4%9B%E5%BF%85%E8%BE%BE%E6%B3%95%E5%88%99&rev=1780411252&do=diff 定理依赖关系图 洛必达法则（L'Hôpital's Rule） 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足： * $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ * 在 $a$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$ * $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$（$L$ 为有限数或 $\pm\infty$） 则： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$ 证明（利用柯西中值定理） 第一步：补充定义 由于 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$$$f(a) = 0, \quad g(a) = 0$$$f(x)$$g(x)$$x = a$$x > a$$x < a$$[a, x]$$f, g$$f, g$$(a, x)$$g'(t) \neq 0$$t \in (a, x)$$\xi \in… text/html 2026-06-02T13:55:13+00:00 张叶安 (midas@undisclosed.example.com) https://www.zhuzhugst.com/doku.php?id=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90:%E5%A4%8D%E4%B9%A0%E5%B0%8F%E6%8A%84&rev=1780408513&do=diff text/html 2026-04-23T14:51:19+00:00 张叶安 (midas@undisclosed.example.com) https://www.zhuzhugst.com/doku.php?image=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%3Ahistory_of_the_method_of_fluxions_normalized_.pdf&ns=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90&rev=1776955879&tab_details=history&media_do=diff&do=media <img src="https://www.zhuzhugst.com/lib/images/fileicons/svg/pdf.svg" alt="history_of_the_method_of_fluxions_normalized_.pdf" loading="lazy" width="500" height="500" />