张叶安的博客 - 线性代数

二次型

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T08:30:56+00:00

第七章二次型 7.1 二次型及其矩阵表示 7.1.1 二次型的定义定义 7.1（二次型）设 $P$ 是一个数域，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是 $n$ 个变量，系数在 $P$ 中的二次齐次多项式 $$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$ 称为数域 $P$ 上的 $n$ 元二次型，简称二次型。 $$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \cdots + 2a_{1n}x_1x_n + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{nn}x_n^2$$$a_{ij} = a_{ji}$$i, j = 1, 2, \ldots, n$$f = x_1^2 + 2x_1x_2 + 3x_2^2$$f = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2x_3$$f = x_1^2 + x_2$$x_1x_2x_3$$x_2$$a_{ji} = a_{ij}$$i < j$$$f…

矩阵与行列式

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-18T11:23:25+00:00

第一章矩阵与行列式 1.1 矩阵的概念与运算 1.1.1 矩阵的定义定义 1.1（矩阵）由 $m \times n$ 个数 $a_{ij}$（$i = 1, 2, \ldots, m$；$j = 1, 2, \ldots, n$）排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表 $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$ 称为 $m \times n$ 矩阵，简记为 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 或 $A_{m \times n}$。特殊矩阵： * 方阵：$m = n$ 时，称为 $n$$m = 1$$1 \times n$$n = 1$$m \times 1$$O$$E$$I$$$E_n = \begin{pmatrix} 1 & …

内积空间

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T07:54:38+00:00

第六章内积空间 6.1 内积的定义与性质 6.1.1 内积的定义定义 6.1（内积）设 $V$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，若对 $V$ 中任意两个向量 $\alpha, \beta$，都有一个确定的实数 $(\alpha, \beta)$ 与之对应，且满足： 1. 对称性： $(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$ 2. $(k\alpha + l\beta, \gamma) = k(\alpha, \gamma) + l(\beta, \gamma)$$(\alpha, \alpha) \geq 0$$(\alpha, \alpha) = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0$$(\alpha, \beta)$$\alpha$$\beta$$\mathbb{R}^n$$\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)^T$$\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)^T$$$(\alpha, \beta) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + …

特征值与特征向量

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T07:53:17+00:00

第五章特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量的概念 5.1.1 定义定义 5.1（特征值与特征向量）设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$，使得 $$A\xi = \lambda\xi$$ 则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\xi$ 为 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的$\xi$$A$$\lambda$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$\xi_1 = (1, 1)^T$$\xi_2 = (1, -1)^T$$$A\xi_1 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4\xi_1$$$$A\xi_2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\…

线性变换

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-18T11:37:50+00:00

第四章线性变换 4.1 线性变换的概念 4.1.1 映射与变换定义 4.1（映射）设 $V$ 和 $W$ 是两个非空集合，若对 $V$ 中每个元素 $\alpha$，按照某种法则，在 $W$ 中都有唯一的元素 $\beta$ 与之对应，则称此法则为从 $V$ 到 $W$$f: V \to W$$\beta = f(\alpha)$$W$$V$$F$$T$$V$$T(\alpha + \beta) = T(\alpha) + T(\beta)$$\forall \alpha, \beta \in V$$T(k\alpha) = kT(\alpha)$$\forall k \in F, \alpha \in V$$T$$V$$T(k\alpha + l\beta) = kT(\alpha) + lT(\beta)$$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$$T(x, y) = (x+y, x-y)$$\alpha = (x_1, y_1)$$\beta = (x_2, y_2)$$T(\alpha + \beta) = T(x_1+x_2, y_1+…

线性方程组

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-18T11:34:06+00:00

第三章线性方程组 3.1 线性方程组的基本概念 3.1.1 线性方程组的形式一般形式：含有 $n$ 个未知数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的 $m$ 个线性方程组成的方程组： $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$ 矩阵形式： $$Ax = b$$ 其中 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 是系数矩阵，$x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$ 是未知数向量，$b = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T$ 是常数项向量。$$\overline{A} = (A | b) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &…

向量空间

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-18T11:29:39+00:00

第二章向量空间 2.1 向量及其线性运算 2.1.1 n维向量的概念定义 2.1（n维向量） $n$ 个有次序的数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 所组成的数组称为 $n$ 维向量，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量。分量全为实数的向量称为实向量$n$$\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$$\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$$\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$$\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$$$\alpha + \beta = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n)$$$\lambda$$\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$$$\lambda\alpha = (\lambda a_1, \lambda a_2, \ldots, \lambda a_n)$$$\alpha + \beta…