张叶安的博客 - 概率论

参数估计

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T08:43:47+00:00

第七章参数估计 7.1 点估计 7.1.1 点估计的概念定义 7.1（点估计）设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x; \theta)$，其中 $\theta$ 是未知参数（可以是向量）。从总体中抽取样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，构造统计量 $\hat{\theta} = \hat{\theta}(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 作为 $\theta$ 的估计，称为 $\theta$ 的点估计$\hat{\theta}$$x_1, x_2, \ldots, x_n$$\hat{\theta}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$k$$\mu_k = E(X^k)$$\theta$$k$$A_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$$\mu_k$$X$$P(\lambda)$$X_1, \ldots, X_n$$\lambda$$E(X) = \lambda$$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$$\bar{X} = \lambda$$\hat{\lambd…

大数定律与中心极限定理

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T08:41:30+00:00

第五章大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律 5.1.1 依概率收敛定义 5.1（依概率收敛）设 $\{X_n\}$ 是随机变量序列，$X$ 是随机变量（或常数 $a$），若对任意 $\varepsilon > 0$： $$\lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| < \varepsilon) = 1$$ 或等价地 $$\lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0$$ 则称 $\{X_n\}$ 依概率收敛于 $X$，记为 $X_n \xrightarrow{P} X$$X_n \xrightarrow{P} X$$Y_n \xrightarrow{P} Y$$X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y$$g(x)$$X_n \xrightarrow{P} X$$g(X_n) \xrightarrow{P} g(X)$$X$$E(X)$$D(X)$$\varepsilon > 0$$$P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(…

多维随机变量

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T08:20:14+00:00

第三章多维随机变量 3.1 二维随机变量及其分布 3.1.1 二维随机变量的概念定义 3.1（二维随机变量）设 $E$ 是随机试验，样本空间为 $\Omega$，$X = X(\omega)$ 和 $Y = Y(\omega)$ 是定义在 $\Omega$ 上的随机变量，则由它们构成的向量 $(X, Y)$ 称为$(X, Y)$$(X, Y)$$(X, Y)$$x, y$$$F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)$$$(X, Y)$$F(x, y)$$(X, Y)$$(x, y)$$0 \leq F(x, y) \leq 1$$F(x, y)$$x$$y$$F(x, y)$$x$$y$$F(-\infty, y) = F(x, -\infty) = 0$$F(+\infty, +\infty) = 1$$x_1 < x_2$$y_1 < y_2$$$P(x_1 < X \leq x_2, y_1 < Y \leq y_2) = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1)$$$(X, Y)…

概率论基础

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T08:10:43+00:00

第一章概率论基础 1.1 随机事件与样本空间 1.1.1 随机现象与随机试验确定性现象：在一定条件下必然发生或不发生的现象。 * 例：标准大气压下，水加热到 100°C 必然沸腾随机现象：$E_1$$E_2$$E_3$$E_4$$E$$E$$\Omega$$S$$E$$E_1$$\Omega_1 = \{H, T\}$$H$$T$$E_2$$\Omega_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$E_3$$\Omega_3 = \{0, 1, 2, \ldots\}$$E_4$$\Omega_4 = \{t : t \geq 0\} = [0, +\infty)$$E$$\Omega$$E$$\Omega$$\emptyset$$E_2$$A$$\{2, 4, 6\}$$B$$\{5, 6\}$$C$$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$$D$$\emptyset$$E$$\Omega$$A, B$$E$$A \subseteq B$$B$$A$$A$$B$$A$$B$$A \subseteq B$$B \subseteq A$$…

数理统计基础

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T08:42:21+00:00

第六章数理统计基础 6.1 总体与样本 6.1.1 总体与个体定义 6.1（总体与个体）在数理统计中，将研究对象的全体称为总体，总体中的每个元素称为个体。总体可以用一个随机变量 $X$ 来表示，$X$$X_1, X_2, \ldots, X_n$$X_i$$X$$X_1, X_2, \ldots, X_n$$P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n) = \prod_{i=1}^n P(X = x_i)$$f(x_1, \ldots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i)$$X_1, X_2, \ldots, X_n$$X$$g(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$g$$g$$$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$$$$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2\right)$$$S = \sqrt{S^2}$$n-1$$…

数字特征

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T08:36:16+00:00

第四章数字特征 4.1 数学期望 4.1.1 数学期望的概念引例：某射手射击 100 次，成绩如下： * 命中 10 环：20 次 * 命中 9 环：50 次 * 命中 8 环：25 次 * 命中 7 环：5 次平均环数 = $\frac{10 \times 20 + 9 \times 50 + 8 \times 25 + 7 \times 5}{100} = 10 \times 0.2 + 9 \times 0.5 + 8 \times 0.25 + 7 \times 0.05 = 8.85$ 定义 4.1（离散型随机变量的数学期望）$X$$P(X = x_k) = p_k$$k = 1, 2, \ldots$$\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|p_k$$$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k$$$X$$X$$f(x)$$\int_{-\infty}^{+\infty} |x|f(x)dx$$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$$$X$$E(X) = p$…

随机变量及其分布

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-04-01T04:47:13+00:00

第二章随机变量及其分布 2.1 随机变量的概念 2.1.1 随机变量的引入在第一章中，我们用随机事件描述随机现象，但这种方法有局限性： * 不易进行定量分析 * 难以使用数学工具深入研究$E_1$$X$$X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$E_2$$X$$X \in \{0, 1, 2, \ldots, n\}$$E_3$$X$$X \in [0, 300]$$\Omega$$\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X = X(\omega)$$\Omega$$X, Y, Z$$x, y, z$$X$$X$$X$$x_k$$k = 1, 2, \ldots$$X$$$P(X = x_k) = p_k, \quad k = 1, 2, \ldots$$$X$$p_k \geq 0$$\sum_{k} p_k = 1$$X$$x_1$$x_2$$\cdots$$x_k$$\cdots$$P$$p_1$$p_2$$\cdots$$p_k$$\cdots$$X$$$P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - …