张叶安的博客 - 数学分析

等价无穷小

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-06-02T15:07:40+00:00

公式依赖图等价无穷小设 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 都是 $x \to x_0$ 时的无穷小量（即极限为 0），若： $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$$ 则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 等价，记作： $$\alpha(x) \sim \beta(x) \quad (x \to x_0)$$ 关键理解 * 等价 ≠ 相等：$\sin x \sim x$ 不代表 $\sin x = x$，而是两者趋近 0 的速度完全相同 * 比值极限为 1 意味着：$\alpha(x) = \beta(x) + o(\beta(x))$$x=0$$\sin x$$x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - ...$$\sin x \sim x$$\tan x$$x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + ...$$\tan x \sim x$$e^x$$1 + x + \frac{x^2}{2} + ..…

多元函数积分学

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T07:46:35+00:00

第七章多元函数积分学 7.1 重积分 7.1.1 二重积分的定义定义 7.1 设 $D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的有界闭区域，$f(x,y)$ 是 $D$ 上的有界函数。将 $D$ 分割为 $n$ 个小区域 $\Delta\sigma_i$，在每个小区域上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，记 $\lambda = \max\{\text{diam}(\Delta\sigma_i)\}$，若极限 $$\iint_D f(x,y)d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i$$ 存在（与分割方式和取点方式无关），则称此极限为 $f$$D$$f(x,y) \geq 0$$\iint_D f(x,y)d\sigma$$D$$z=f(x,y)$$f(x,y) \equiv 1$$\iint_D d\sigma = \sigma(D)$$D$$f(x,y)$$D$$f$$D$$\iint_D [\alpha f + \beta g]d\sigma = \alp…

多元函数微分学

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T07:37:53+00:00

第六章多元函数微分学 6.1 多元函数的基本概念 6.1.1 平面点集邻域：点 $P_0(x_0, y_0)$ 的 $\delta$ 邻域 $$U(P_0, \delta) = \{(x, y) : \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta\}$$ 去心邻域： $$\mathring{U}(P_0, \delta) = U(P_0, \delta) \setminus \{P_0\}$$ 点与点集的关系： * 内点：存在邻域完全含于点集内 * 外点：存在邻域与点集不相交$D$$D$$(x, y)$$f$$z$$f$$D$$$z = f(x, y), \quad (x, y) \in D$$$n$$u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$z = \sqrt{x^2 + y^2 - 1} + \ln(4 - x^2 - y^2)$$$\begin{cases} x^2 + y^2 - 1 \geq 0 \\ 4 - x^2 - y^2 > 0 \end{cases}$$$1 \leq x^2 + y^2 <…

积分学

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T07:26:51+00:00

第四章积分学 4.1 不定积分 4.1.1 原函数与不定积分的概念定义 4.1（原函数）设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若存在函数 $F(x)$ 使得对任意 $x \in I$： $$F'(x) = f(x) \quad \text{或} \quad dF(x) = f(x)dx$$ 则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 上的原函数。定理 4.1（原函数的性质）$F(x)$$f(x)$$F(x) + C$$C$$f(x)$$f(x)$$f(x)$$f(x)$$$\int f(x)dx = F(x) + C$$$\int$$f(x)$$f(x)dx$$x$$C$$\left(\int f(x)dx\right)' = f(x)$$d\left(\int f(x)dx\right) = f(x)dx$$\int F'(x)dx = F(x) + C$$\int dF(x) = F(x) + C$$\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$$\int kf(x)dx = k\int f…

级数

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T07:30:09+00:00

第五章级数 5.1 常数项级数的概念与性质 5.1.1 常数项级数的概念引例：芝诺悖论——阿基里斯追龟阿基里斯速度是龟的 10 倍，龟在阿基里斯前面 100 米处。当阿基里斯到达龟的起点时，龟向前爬了 10 米；当他跑完这 10 米，龟又爬了 1 米……$100 + 10 + 1 + 0.1 + \cdots = \frac{100}{1 - 0.1} = \frac{1000}{9} \approx 111.11$$\{u_n\}$$$u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} u_n$$$u_n$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$$$S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$$$\{S_n\}$$\lim_{n \to \infty} S_n = S$$S$$\{S_n\}$$r_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} u_k$$\sum_{n=0}^{\infty} aq^n$…

连续性

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-18T11:46:05+00:00

第二章连续性 2.1 连续函数的定义 2.1.1 点连续的定义定义 2.1（点连续）设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。如果 $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ 则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。用 ε-δ 语言表述：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$$$\lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$$f(x)$$x_0$$f(x)$$x_0$$f(x) = |x|$$x = 0$$\lim_{x …

洛必达法则

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-06-02T14:40:52+00:00

定理依赖关系图洛必达法则（L'Hôpital's Rule）设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足： * $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ * 在 $a$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$ * $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$（$L$ 为有限数或 $\pm\infty$）则： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$ 证明（利用柯西中值定理）第一步：补充定义由于 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$$$f(a) = 0, \quad g(a) = 0$$$f(x)$$g(x)$$x = a$$x > a$$x < a$$[a, x]$$f, g$$f, g$$(a, x)$$g'(t) \neq 0$$t \in (a, x)$$\xi \in…

牛顿时代的微积分

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-04-27T15:45:37+00:00

庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 现在有一小球，在2s内匀速走了4m，可知其平均速度为$4\mathrm{m}/2\mathrm{s}=2 \mathrm{m} /\mathrm{s}$,那么如何求其在初始时刻的瞬时速度呢。我们使用眼球技术可以得知其瞬时速度也为$2 \mathrm{m} /\mathrm{s}$，然而要怎么准确的描述这一数值。$4/{2^{n}}$$2/{2^{n}}$$c2^t$$2^t$$\Sigma 2^t$$\Sigma 2^t \cdot 0.01$$c=4/(\Sigma 2^t$$c=4/3 \ln 2 = 0.924196$

实数与极限

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-18T12:19:03+00:00

第一章实数与极限 1.1 实数理论 1.1.1 实数的引入为什么要研究实数？有理数的定义：形如 $\frac{p}{q}$ 的数称为有理数，其中 $p, q$ 为整数且 $q \neq 0$。所有有理数组成的集合记为 $\mathbb{Q}$。有理数可以表示为有限小数或无限循环小数。有理数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算封闭。$\mathbb{Q}$$\sqrt{2}$$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$$p, q$$p^2 = 2q^2$$p^2$$p$$p = 2k$$4k^2 = 2q^2$$q^2 = 2k^2$$q$$p, q$$\mathbb{Q}$$A$$B$$A \cup B = \mathbb{Q}$$A \cap B = \emptyset$$a \in A, b \in B$$a < b$$(A, B)$$A$$B$$A$$B$$A$$B$$\sqrt{2}$$A = \{r \in \mathbb{Q} : r < 0 \text{ 或 } r^2 < 2\}$$B = \{r \in \mathbb{Q} : r > 0…

泰勒公式

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-06-08T05:31:08+00:00

公式依赖线路图泰勒公式核心定义基本形式设函数 $f(x)$ 在包含点 $a$ 的某个开区间内具有直到 $n+1$ 阶的导数，则对该区间内任意一点 $x$，有： $$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$ 其中： * $P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ 称为 n 阶泰勒多项式 * $R_n(x)$ 称为余项（Remainder）$R_n(x) = o((x-a)^n)$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a)$$R_n(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)…

微分学

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T07:24:45+00:00

第三章微分学 3.1 导数的概念 3.1.1 导数的定义定义 3.1（导数）设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限 $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，该极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记为 $f'(x_0)$ 或 $\frac{dy}{dx}\big|_{x=x_0}$。等价形式：$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$$f'(x_0)$$y = f(x)$$(x_0, f(x_0))$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$$f'(x_0) \neq 0$$f(x) = x^2$$x = 1$$$\begin{aligned} f'(1) &= \lim_{\Delta x…