张叶安的博客 - 常微分方程

变系数线性微分方程

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T06:12:20+00:00

第六章变系数线性微分方程 6.1 引言当线性微分方程的系数不是常数而是自变量的函数时，方程称为变系数线性微分方程。这类方程通常没有通用的初等解法，但在特定情况下（如某些系数为多项式、幂函数等），可用幂级数解法或特殊函数法求解。$f(x)$$x_0$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$$f$$x_0$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$$p(x), q(x)$$x_0$$x_0$$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$$a_n$$y'' + y = 0$$x = 0$$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$y' = \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1}$$y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$$\sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1)a_{n+2} + a_n]x^n = …

常系数线性微分方程

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第五章常系数线性微分方程 5.1 引言常系数线性微分方程是高阶线性方程中最重要的一类，其理论完善，解法系统，在物理、工程等领域有广泛应用。 $n$ 阶常系数线性微分方程的一般形式为： $y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}y' + a_ny = f(x)$$a_1, a_2, \ldots, a_n$$f(x)$$y'' + py' + qy = 0$$y = e^{\lambda x}$$\lambda^2e^{\lambda x} + p\lambda e^{\lambda x} + qe^{\lambda x} = 0$$(\lambda^2 + p\lambda + q)e^{\lambda x} = 0$$e^{\lambda x} \neq 0$$\lambda^2 + p\lambda + q = 0$$\lambda_1, \lambda_2$$\lambda_1 \neq \lambda_2 \in \mathbb{R}$$e^{\lambda_1 x}, e^{\lambda_2 x}$$y = C_1e^{\…

常系数线性微分方程组

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T06:14:47+00:00

第八章常系数线性微分方程组 8.1 引言常系数线性微分方程组是线性方程组中最重要的特例，其系数矩阵 $A$ 为常数矩阵。这类方程组有系统的求解方法，应用十分广泛。标准形式： $\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$ 其中 $A$$n \times n$$\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$$\mathbf{x} = \mathbf{\xi}e^{\lambda t}$$\mathbf{\xi}$$\lambda$$\lambda\mathbf{\xi}e^{\lambda t} = A\mathbf{\xi}e^{\lambda t}$$A\mathbf{\xi} = \lambda\mathbf{\xi}$$A$$\lambda$$A$$\mathbf{\xi}$$A$$n$$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$$\mathbf{\xi}_1, \ldots, \mathbf{\xi}_n$$\mathbf{\varphi}_k = \mathbf{\xi}_k e^{\lambda_k…

高阶微分方程

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T06:08:25+00:00

第四章高阶微分方程 4.1 引言高阶微分方程是指阶数 $n \geq 2$ 的微分方程。在物理学和工程学中，许多问题需要用高阶微分方程来描述，如力学中的Newton第二定律导出的运动方程通常是二阶的。 $n$$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$$y^{(n)} = f(x, y, y', \ldots, y^{(n-1)})$$y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1, \ldots, y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}$$y^{(n)} = f(x)$$n$$y''' = e^x$$y'' = e^x + C_1$$y' = e^x + C_1x + C_2$$y = e^x + \frac{C_1x^2}{2} + C_2x + C_3$$F(x, y^{(k)}, y^{(k+1)}, \ldots, y^{(n)}) = 0$$z = y^{(k)}$$n-k$$y$$F(x, y', y'') = 0$$z = y'$$y'' = z'$$F(x, z, z') = 0$$xy'' + y' = …

极限环与分支

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第十一章极限环与分支 11.1 极限环的定义定义11.1.1（极限环）对于二维自治系统，孤立的闭轨称为极限环（Limit Cycle）。“孤立”指存在该闭轨的邻域，其中不含其他闭轨。定义11.1.2（极限环的稳定性）$\Gamma$$t \to +\infty$$\Gamma$$t \to +\infty$$\Gamma$$D \subset \mathbb{R}^2$$\gamma$$D$$D$$\gamma$$\omega$$G$$L_1$$L_2$$L_1$$L_2$$G$$D$$\text{div}\,\mathbf{f} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$$D$$\Gamma$$G$$$\oint_\Gamma (Pdy - Qdx) = \iint_G \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy$$$\frac{dx}{dt} = P, \frac{dy…

数值解法

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:28:52+00:00

第十五章数值解法 15.1 数值解的基本概念定义15.1.1（初值问题） $$\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$$ 数值解：在离散点 $x_0 < x_1 < \cdots < x_N$ 上求近似值 $y_n \approx y(x_n)$。步长：$h_n = x_{n+1} - x_n$，常取等步长 $h$。定义15.1.2（局部截断误差）单步法 $y_{n+1} = y_n + h\phi(x_n, y_n, h)$ 的局部截断误差： $$T_{n+1} = y(x_{n+1}) - y(x_n) - h\phi(x_n, y(x_n), h)$$ 若 $T_{n+1} = O(h^{p+1})$$p$$$y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)$$$T_{n+1} = \frac{h^2}{2}y''(\xi) = O(h^2)$$O(h)$$$y_{n+1} = y_n + hf(x_{n+1}, y_{n+1})$$$y_{n+1}$$$y_{n+1} = y_n + \frac{…

特殊函数

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第十三章特殊函数 13.1 Gamma函数与Beta函数定义13.1.1（Gamma函数）对于 $\text{Re}(z) > 0$，Gamma函数定义为： $$\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt$$ 基本性质： 1. 递推公式：$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ 2. 正整数：$\Gamma(n+1) = n!$，$n = 0, 1, 2, \ldots$ 3. 特殊值：$\Gamma(1) = 1$，$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ 4. 余元公式：$\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$ 5. 倍元公式：$\Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})$ 定义13.1.2（Beta函数）$$B(p, q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt, \quad \text{Re}(p), …

微分方程的基本概念

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:17:54+00:00

第一章微分方程的基本概念 1.1 引言微分方程是现代数学中最重要的分支之一，它起源于17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分时期。从物理学中的运动定律到生物学中的种群动力学，从经济学中的增长模型到工程学中的控制系统，微分方程为描述自然现象和社会现象提供了强大的数学工具。$x$$y = y(x)$$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$$F$$y', y'', \ldots, y^{(n)}$$y$$x$$n$$\frac{dy}{dx} = 2x$$y'' + y = 0$$(y')^2 + xy = \sin x$$\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$\frac{dy}{dx} = x^2$$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$$y^{(4)} + (y'')^3 = x$$n$$…

微分方程的应用

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:28:26+00:00

第十四章微分方程的应用 14.1 物理学应用 14.1.1 力学系统牛顿第二定律：$m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}, t)$ 谐振子：$m\ddot{x} + kx = 0$，解为 $x = A\cos(\omega t + \varphi)$，$\omega = \sqrt{k/m}$ 阻尼振动：$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0$ * $c < c_{cr} = 2\sqrt{km}$：欠阻尼，衰减振动 * $c = c_{cr}$：临界阻尼 * $c > c_{cr}$：过阻尼受迫振动：$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t)$ 稳态解：$x = A\cos(\omega t - \phi)$，振幅 $$A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}$$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{…

线性微分方程组

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T06:13:24+00:00

第七章线性微分方程组 7.1 引言在实际问题中，常常需要同时考虑多个相互关联的未知函数，这就导致了微分方程组的研究。线性微分方程组是微分方程理论中最重要的部分之一，它不仅在数学理论上完善，在控制理论、电路分析、生态系统等领域也有广泛应用。$\begin{cases} x_1' = a_{11}(t)x_1 + a_{12}(t)x_2 + \cdots + a_{1n}(t)x_n + f_1(t) \\ x_2' = a_{21}(t)x_1 + a_{22}(t)x_2 + \cdots + a_{2n}(t)x_n + f_2(t) \\ \vdots \\ x_n' = a_{n1}(t)x_1 + a_{n2}(t)x_2 + \cdots + a_{nn}(t)x_n + f_n(t) \end{cases}$$x_i = x_i(t)$$a_{ij}(t)$$f_i(t)$$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad A(t) = \begin{pmat…

一阶微分方程

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T06:05:13+00:00

第二章一阶微分方程 2.1 引言一阶微分方程是常微分方程中最基础也是最重要的部分，许多实际问题都可以归结为一阶微分方程。本章将系统介绍几类可解析求解的一阶微分方程，包括可分离变量方程、齐次方程、线性方程和恰当方程。$F(x, y, y') = 0$$y'$$y' = f(x, y)$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$f(x)$$g(y)$$x$$y$$g(y) \neq 0$$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C$$y_0$$g(y_0) = 0$$y = y_0$$\frac{dy}{dx} = xy$$y \neq 0$$\frac{dy}{y} = xdx$$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1$$|y| = e^{C_1}e^{x^2/2}$$C = \pm e^{C_1}$$y = Ce^{x^2/2}$$y = 0$$C = 0$$k > 0$$N_0$$t$$N(t)$$\frac{dN}{dt} = -kN$$\int \frac{…

一阶微分方程的解的存在唯一性

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T06:06:52+00:00

第三章一阶微分方程的解的存在唯一性 3.1 引言前两章我们讨论了几类特殊的一阶微分方程的解法。然而，在实际应用中遇到的微分方程往往不能用初等函数表示其解。因此，研究解的存在性和唯一性具有重要的理论意义和实用价值。$y' = y^{2/3}, y(0) = 0$$y = 0$$3y^{1/3} = x + C$$y(0) = 0$$C = 0$$y = (x/3)^3$$a \geq 0$$y_a(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \\ \left(\frac{x-a}{3}\right)^3, & x > a \end{cases}$$y' = y^2, y(0) = 1$$-\frac{1}{y} = x + C$$y = -\frac{1}{x + C}$$y(0) = 1$$C = -1$$y = \frac{1}{1-x}$$x < 1$$x \to 1^-$$y \to +\infty$$x = 1$$y' = \frac{y}{x}, y(0) = 1$$x = 0$$f(x, y)$$D$$L > 0$$(x, y_1), (x, …

自治系统与相平面分析

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T06:16:45+00:00

第九章自治系统与相平面分析 9.1 自治系统与相空间定义9.1.1（自治系统）设 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{f}: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 是连续可微函数。形如 $$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x})$$ 的常微分方程组称为自治系统（Autonomous System）或定常系统。与之相对，若右端显含时间 $t$$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(t, \mathbf{x})$$\mathbf{x} = \boldsymbol{\varphi}(t)$$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x})$$c$$\mathbf{x} = \boldsymbol{\varphi}(t+c)$$\mathbf{\psi}(t) = \boldsymbol{\varphi}…

lyapunov稳定性理论

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:26:55+00:00

第十章 Lyapunov稳定性理论 10.1 稳定性的定义考虑自治系统： $$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in D \subseteq \mathbb{R}^n$$ 设 $\mathbf{f}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$，即原点是平衡点。定义10.1.1（Lyapunov稳定性）原点称为稳定的（Stable），若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当初值满足 $\|\mathbf{x}(0)\| < \delta$ 时，对所有 $t \geq 0$$$\|\mathbf{x}(t)\| < \varepsilon$$$\delta_1 > 0$$\|\mathbf{x}(0)\| < \delta_1$$\lim_{t \to +\infty} \mathbf{x}(t) = \mathbf{0}$$\mathbb{R}^n$$V: D \to \mathbb{R}$$V(\mathbf{0}) =…

sturm-liouville边值问题

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:26:33+00:00

第十二章 Sturm-Liouville边值问题 12.1 Sturm-Liouville问题的形式定义12.1.1（Sturm-Liouville问题）二阶线性微分方程的Sturm-Liouville（S-L）形式为： $$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + [\lambda w(x) - q(x)]y = 0, \quad a < x < b$$ 其中： * $p(x) > 0$（通常称为权函数或系数函数） * $w(x) > 0$（权函数）$q(x) \geq 0$$\lambda$$y(a) = y(b) = 0$$$x^2y'' + xy' + (\lambda x^2 - n^2)y = 0$$$x$$xy'' + y' + (\lambda x - \frac{n^2}{x})y = 0$$\frac{d}{dx}\left[x\frac{dy}{dx}\right] + (\lambda x - \frac{n^2}{x})y = 0$$p(x) = x$$w(x) = x$$q(x) = \f…