张叶安的博客 - 工程数学

保角映射

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:23:59+00:00

第六章保角映射本章介绍解析函数的几何性质——保角性，研究各类保角映射，特别是分式线性映射及其应用。 6.1 保角映射的概念 6.1.1 解析函数的导数的几何意义设 $w = f(z)$ 在 $z_0$ 处解析，$f'(z_0) \neq 0$。考察 $z_0$$z_0$$C$$z_0$$\theta$$$\frac{dw}{dz}\bigg|_{z_0} = f'(z_0) = |f'(z_0)|e^{i\arg f'(z_0)}$$$|f'(z_0)|$$z_0$$\arg f'(z_0)$$z_0$$f(z)$$z_0$$f'(z_0) \neq 0$$z_0$$C_1, C_2$$z_0$$\theta_1, \theta_2$$\theta_1 + \arg f'(z_0)$$\theta_2 + \arg f'(z_0)$$(\theta_2 + \arg f') - (\theta_1 + \arg f') = \theta_2 - \theta_1$$w = f(z)$$D$$f(z)$$D$$f(z)$$D$$\iff$$f(z)$$D$$f'(z) \n…

贝塞尔函数

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:03:46+00:00

第十二章贝塞尔函数 12.1 引言贝塞尔函数（Bessel functions）是数学物理中最重要的特殊函数之一，由丹尼尔·贝塞尔（Daniel Bernoulli）在1732年研究悬链线问题时首次引入，后由弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）在1824年系统研究。它们在圆柱坐标系下的偏微分方程求解、波动问题、热传导等领域有广泛应用。$(\rho, \varphi, z)$$\nabla^2 u + k^2 u = 0$$R(\rho)$$$\rho^2 \frac{d^2R}{d\rho^2} + \rho \frac{dR}{d\rho} + (k^2\rho^2 - m^2)R = 0 \quad (12.1)$$$x = k\rho$$y(x) = R(\rho)$$$x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2)y = 0 \quad (12.2)$$$\nu$$x = 0$$x = \infty$$\nu$$-\nu$$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}$$$r^2 - \nu^2 = 0 \Rig…

本征值问题

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:32:20+00:00

第十六章本征值问题 16.1 Sturm-Liouville问题定义 16.1（Sturm-Liouville方程）二阶线性常微分方程 $$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + [\lambda\rho(x) - q(x)]y = 0$$ 称为Sturm-Liouville方程，其中 $\lambda$ 为参数，$p(x), \rho(x), q(x)$ 为给定函数。边界条件： * 第一类边界条件：$y(a) = 0$，$y(b) = 0$ * 第二类边界条件：$y'(a) = 0$$y'(b) = 0$$y'(a) - h_1y(a) = 0$$y'(b) + h_2y(b) = 0$$\lambda$$$\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots < \lambda_n < \cdots$$$\lim_{n \to \infty} \lambda_n = +\infty$$\rho(x)$$$\int_a^b y_m(x)y_n(x)\rho(x)dx = 0 \q…

变分法

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:07:10+00:00

第十八章变分法 18.1 泛函与变分定义 18.1（泛函）设 $J[y]$ 是定义在某函数集合上的变量，若对于集合中每个函数 $y(x)$，都有唯一的数值与之对应，则称 $J[y]$ 为泛函。例： * $J[y] = \int_a^b y(x)dx$ * $J[y] = \int_a^b \sqrt{1 + y'^2}dx$（弧长）定义 18.2（变分）$y(x)$$$\delta y = \bar{y}(x) - y(x)$$$\bar{y}(x)$$y(x)$$$J[y] = \int_a^b F(x, y, y')dx$$$$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} = 0$$$$J[u] = \iint_D F(x, y, u, u_x, u_y)dxdy$$$$\frac{\partial F}{\partial u} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial u_x} -…

常微分方程级数解法

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:02:42+00:00

第十章常微分方程级数解法 10.1 引言在工程和物理问题中，许多重要的微分方程不能用初等函数表示其解。然而，大多数这样的方程的解可以在某一点的邻域内表示为幂级数的形式。本章将介绍求解常微分方程的级数解法，包括幂级数解法和Frobenius方法。$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \cdots$$$x_0$$|x - x_0| < R$$|x - x_0| > R$$R$$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$$$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \quad (10.1)$$$P(x)$$Q(x)$$x_0$$x_0$$(10.1)$$x_0$$(10.1)$$|x - x_0| < R$$$y_1(x) = \sum_{n=0}^{\infty}…

分离变量法

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:05:24+00:00

第十五章分离变量法 15.1 引言分离变量法（Method of Separation of Variables）是求解线性偏微分方程定解问题最基本、最重要的方法。其基本思想是将多元函数表示为单变量函数的乘积，从而将偏微分方程转化为常微分方程求解。$$u(x, y, z, t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t) \quad (15.1)$$$$u_{tt} = a^2 u_{xx}, \quad 0 < x < L, \quad t > 0 \quad (15.2)$$$$u(0,t) = u(L,t) = 0 \quad (15.3)$$$$u(x,0) = \varphi(x), \quad u_t(x,0) = \psi(x) \quad (15.4)$$$u(x,t) = X(x)T(t)$$$X(x)T''(t) = a^2 X''(x)T(t)$$$$\frac{T''}{a^2 T} = \frac{X''}{X} = -\lambda \quad (15.5)$$$$X'' + \lambda X = 0 \quad (15.6)$$$$T'' + a^2\…

复变函数的积分

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:18:31+00:00

第三章复变函数的积分本章介绍复变函数的积分理论，包括复积分的定义、柯西积分定理和柯西积分公式，这是复变函数理论的核心内容。 3.1 复积分的定义 3.1.1 有向曲线定义 3.1（有向曲线）设 $C$$C$$C$$-C$$C$$C$$z_0$$Z$$f(z)$$C$$C$$n$$$z_0, z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}, z_n = Z$$$\widehat{z_{k-1}z_k}$$\zeta_k$$$S_n = \sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)(z_k - z_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)\Delta z_k$$$\lambda = \max_{1 \leq k \leq n}|\Delta z_k|$$\lambda \to 0$$S_n$$\zeta_k$$f(z)$$C$$$\int_C f(z)dz = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)\Delta z_k$$$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$$z = x + i…

复数与复变函数

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:12:08+00:00

第一章复数与复变函数本章介绍复数的基本概念、运算规则，以及复变函数的基础理论，为后续学习解析函数、复积分等内容奠定基础。 1.1 复数的概念与表示 1.1.1 复数的定义定义 1.1（复数）形如 $z = x + iy$$x, y \in \mathbb{R}$$i$$i^2 = -1$$x$$z$$\Re(z)$$\text{Re}(z)$$y$$z$$\Im(z)$$\text{Im}(z)$$y = 0$$z = x$$x = 0$$y \neq 0$$z = iy$$\mathbb{C}$$$\mathbb{C} = \{z = x + iy \mid x, y \in \mathbb{R}, i^2 = -1\}$$$z = x + iy$$(x, y)$$x$$y$$z = x + iy$$(r, \theta)$$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$$$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$z$$…

傅里叶变换

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:25:22+00:00

第七章傅里叶变换本章介绍傅里叶变换的基本理论，包括傅里叶积分、傅里叶变换的定义与性质、卷积定理及其应用，这是信号处理和数学物理中的重要工具。 7.1 傅里叶级数回顾 7.1.1 周期函数的傅里叶展开 $f(t)$$T$$$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{2\pi nt}{T} + b_n\sin\frac{2\pi nt}{T}\right)$$$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i\frac{2\pi nt}{T}}$$$$c_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}dt$$$|c_n|$$\frac{n}{T}$$T \to \infty$$f(t)$$(-\infty, +\infty)$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty$$$\frac{1}{2}[f(t+0) + f(t-0)] = \frac{1}{2\p…

格林函数

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:04:16+00:00

第十三章格林函数 13.1 引言格林函数（Green's function）是求解线性微分方程边值问题的重要工具。它将微分方程的解表示为积分形式，把微分运算转化为积分运算。格林函数方法在数学物理、量子力学、电磁学等领域有广泛应用。$L$$u$$$Lu(x) = f(x) \quad (13.1)$$$L$$G(x, \xi)$$$LG(x, \xi) = \delta(x - \xi) \quad (13.2)$$$\delta(x - \xi)$$$\delta(x - \xi) = \begin{cases} 0, & x \neq \xi \\ \infty, & x = \xi \end{cases}, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - \xi) dx = 1 \quad (13.3)$$$G(x, \xi)$$(13.1)$$$u(x) = \int G(x, \xi) f(\xi) d\xi \quad (13.4)$$$$Lu(x) = L\int G(x, \xi) f(\xi) d\xi = \int LG(x,…

积分变换法

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:06:32+00:00

第十七章积分变换法 17.1 傅里叶变换解偏微分方程基本思想：对空间变量作傅里叶变换，将PDE化为ODE求解。例 17.1 无限长弦的自由振动 $$\begin{cases} u_{tt} = a^2u_{xx}, & -\infty < x < +\infty, t > 0 \\ u(x,0) = \varphi(x), & u_t(x,0) = \psi(x) \end{cases}$$ 解：对 $x$ 作傅里叶变换，记 $\tilde{u}(\omega, t) = \mathcal{F}[u(x,t)]$ $$\frac{d^2\tilde{u}}{dt^2} = -a^2\omega^2\tilde{u}$$ 解得：$\tilde{u}(\omega, t) = A(\omega)\cos(a\omega t) + B(\omega)\sin(a\omega t)$ 由初始条件确定系数后，作逆变换得 $$u(x,t) = \frac{\varphi(x+at) + \varphi(x-at)}{2} + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^…

级数

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:21:54+00:00

第四章级数本章研究复变函数的级数展开，包括幂级数、泰勒级数和洛朗级数，这是表示和研究解析函数的重要工具。 4.1 复数项级数 4.1.1 基本概念定义 4.1（复数项级数）设 $\{z_n\}$ 为复数序列，称形式表达式： $$\sum_{n=1}^{\infty}z_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n + \cdots$$$S_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n$$\lim_{n \to \infty}S_n = S$$S$$z_n = x_n + iy_n$$S = X + iY$$$\sum_{n=1}^{\infty}z_n = S \iff \sum_{n=1}^{\infty}x_n = X \text{ 且 } \sum_{n=1}^{\infty}y_n = Y$$$\sum z_n$$\varepsilon > 0$$N$$n > N$$p$$$|z_{n+1} + z_{n+2} + \cdots + z_{n+p}| < \varepsilon$$$\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|$$\s…

解析函数

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:13:28+00:00

第二章解析函数本章介绍复变函数的导数概念，研究解析函数的性质，包括柯西-黎曼条件、调和函数以及初等复变函数。 2.1 复变函数的导数 2.1.1 导数的定义定义 2.1（导数）设函数 $f(z)$ 在 $z_0$$$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0}\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$$$f(z)$$z_0$$f(z)$$z_0$$\Delta z = z - z_0$$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$$f(z)$$z_0$$f(z)$$z_0$$f'(z_0)$$$\lim_{z \to z_0}[f(z) - f(z_0)] = \lim_{z \to z_0}\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \cdot (z - z_0) = f'(z_0) \cdot 0 = 0$$$\lim_{z \to z_0}f(z) = f(z_0)$$f(z) = \bar{z}$$$\frac{…

拉普拉斯变换

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:26:45+00:00

第八章拉普拉斯变换本章介绍拉普拉斯变换的理论与应用，它是工程数学中最重要的工具之一，特别适用于求解常微分方程和初值问题。 8.1 拉普拉斯变换的定义 8.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 $e^{-\sigma t}$$\sigma$$f(t)e^{-\sigma t}$$f(t)$$t \geq 0$$$F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$$s$$F(s)$$f(t)$$s = \sigma + i\omega$$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(s)e^{st}ds$$$f(t)$$t \geq 0$$M > 0$$\sigma_0 \geq 0$$|f(t)| \leq Me^{\sigma_0 t}$$t$$F(s)$$\text{Re}(s) > \sigma_0$$$u(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0 \\…

勒让德函数

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:03:13+00:00

第十一章勒让德函数 11.1 引言勒让德函数（Legendre functions）是数学物理中最重要的特殊函数之一。它们来源于求解球坐标系下的拉普拉斯方程，在电动力学、量子力学、热传导等领域有广泛应用。本章将详细介绍勒让德方程、勒让德多项式及其性质。$(r, \theta, \varphi)$$\nabla^2 u = 0$$\Theta(\theta)$$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \left[\lambda - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta = 0 \quad (11.1)$$$x = \cos\theta$$y(x) = \Theta(\theta)$$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + \left[\lambda - \frac{m^2}{1-x^2}\right]y = 0 \quad (11.2)$$$m = 0$…

留数理论

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:23:02+00:00

第五章留数理论本章介绍留数概念及其计算方法，建立留数定理，并应用于围道积分的计算，这是复变函数最重要的应用之一。 5.1 留数的定义 5.1.1 留数的概念定义 5.1（留数）设 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点，$f(z)$$0 < |z - z_0| < R$$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z - z_0)^n$$$a_{-1}$$f(z)$$z_0$$$\text{Res}[f(z), z_0] = a_{-1}$$$\text{Res}_{z=z_0}f(z) = a_{-1}$$C$$z_0$$C$$f(z)$$z_0$$$\text{Res}[f(z), z_0] = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)dz$$$$a_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)dz$$$C$$f(z)$$C$$C$$z_1, z_2, \ldots, z_n$$$\oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n}\text{Res}[f(z), z_…

数学物理方程

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:31:07+00:00

第十四章数学物理方程 14.1 引言数学物理方程（Mathematical Physics Equations）是描述物理现象中各种场和振动过程的偏微分方程。本章介绍三类典型的二阶线性偏微分方程：波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程，它们是数学物理方法的核心内容。$L$$\rho$$T$$u(x, t)$$[x, x+dx]$$T\sin\theta_2 - T\sin\theta_1 \approx T(u_x|_{x+dx} - u_x|_x) = T u_{xx} dx$$\rho dx \cdot u_{tt} = T u_{xx} dx$$$u_{tt} = a^2 u_{xx} \quad (14.1)$$$a = \sqrt{T/\rho}$$$u_{tt} = a^2 \nabla^2 u = a^2(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) \quad (14.2)$$$u(\vec{r}, t)$$\vec{q}$$$\vec{q} = -k \nabla u \quad (14.3)$$$k$$dV$$$\rho c \frac{\partial …

z变换

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T07:28:25+00:00

第九章 Z变换本章介绍Z变换的基本理论，它是分析离散时间系统和求解差分方程的重要工具，在数字信号处理和控制系统中广泛应用。 9.1 Z变换的定义 9.1.1 从拉普拉斯变换到Z变换对连续信号 $f(t)$$f(nT)$$T$$z = e^{sT}$$\{f[n]\}$$n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$$F(z) = \mathcal{Z}[f[n]] = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]z^{-n}$$$z$$F(z)$$f[n]$$$F(z) = \sum_{n=0}^{\infty}f[n]z^{-n}$$$z$$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|f[n]z^{-n}| < \infty$$$z$$z = 0$$\infty$$f[n] = 0$$n < n_0$$|z| > R_1$$f[n] = 0$$n > n_0$$|z| < R_2$$R_1 < |z| < R_2$$$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{c…