张叶安的博客 - 偏微分方程

变分原理与弱解

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:48:38+00:00

第十二章变分原理与弱解 12.1 变分问题的提出 Dirichlet原理：求 $u$ 使泛函 $$J(v) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla v|^2 dx - \int_\Omega fv dx$$ 在 $v|_{\partial\Omega} = g$ 条件下极小，则 $u$ 满足 $-\Delta u = f$。 Euler-Lagrange方程：泛函极值的必要条件。 12.2 变分法基础泛函：$J: X \to \mathbb{R}$，$X$ 为函数空间。 Gâteaux导数$$\langle J'(u), v \rangle = \lim_{t \to 0}\frac{J(u+tv) - J(u)}{t}$$$u$$J$$$\begin{cases}-\nabla \cdot (a(x)\nabla u) + c(x)u = f, & \Omega \\ u = 0, & \partial\Omega\end{cases}$$$a(x) \geq a_0 > 0$$c(x) \geq 0$$u \in H_0^1(\Omega…

波动方程

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第三章波动方程 3.1 引言波动方程是描述波动现象的基本方程，广泛应用于声学、电磁学、弹性力学等领域。作为最典型的双曲型方程，波动方程展示了有限传播速度、能量守恒等双曲型方程的典型特征。$L$$x$$\rho$$T$$u(x, t)$$x$$t$$|u_x| \ll 1$$[x, x + \Delta x]$$x$$\mathbf{T}(x)$$x + \Delta x$$\mathbf{T}(x + \Delta x)$$\theta$$$T \cos\theta(x + \Delta x) - T \cos\theta(x) = 0$$$\cos\theta \approx 1$$$\rho \Delta x \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \sin\theta(x + \Delta x) - T \sin\theta(x)$$$\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{\partial u}{\partial x}$$$\rho \Delta x \cdot u_{tt} = T \…

非线性偏微分方程

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:49:51+00:00

第十五章非线性偏微分方程 15.1 非线性方程的分类拟线性：最高阶导数线性出现，系数依赖于低阶导数例：$-\Delta u = f(u, \nabla u)$ 完全非线性：最高阶导数非线性出现例：$\det(D^2u) = f$（Monge-Ampère方程） 15.2 半线性椭圆方程 $-\Delta u = f(u)$$x \in \Omega$$u|_{\partial\Omega} = 0$$-\Delta u = u^p$$p > 1$$p < \frac{n+2}{n-2}$$p = \frac{n+2}{n-2}$$u_t + H(x, \nabla u) = 0$$u$$\varphi$$u-\varphi$$x_0$$\varphi_t + H(x_0, \nabla\varphi) \geq 0$$u-\varphi$$x_0$$\varphi_t + H(x_0, \nabla\varphi) \leq 0$$u_t = D\Delta u + f(u)$$f(u) = u(1-u)$$u(x,t) = \phi(x-ct)$$\phi(-\i…

分离变量法

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第六章分离变量法 6.1 分离变量法的基本思想基本假设：解可以表示为各变量函数的乘积： $$u(x, t) = X(x)T(t)$$ 或对于高维：$u(x, y, z, t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t)$ 基本步骤： 1. 假设分离变量形式代入PDE 2. 分离得到各变量的常微分方程 3. 结合边界条件求解特征值问题 4. 叠加得到一般解 5. 利用初始条件确定系数$u_t = a^2 u_{xx}$$0 < x < L$$t > 0$$u(0,t) = u(L,t) = 0$$u(x,0) = \varphi(x)$$u = X(x)T(t)$$$X T' = a^2 X'' T \Rightarrow \frac{T'}{a^2 T} = \frac{X''}{X} = -\lambda$$$X'' + \lambda X = 0$$X(0) = X(L) = 0$$T' + a^2\lambda T = 0$$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$$X_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{L}$$n…

傅里叶变换法

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第七章傅里叶变换法 7.1 傅里叶变换的定义定义7.1.1（傅里叶变换）设 $f \in L^1(\mathbb{R})$，其傅里叶变换定义为： $$\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}[f](\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi x}dx$$ 逆傅里叶变换： $$f(x) = \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}](x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi)e^{i\xi x}d\xi$$ 定义7.1.2（卷积） $$(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-y)g(y)dy$$ 7.2 基本性质定理7.2.1（基本性质）设 $\hat{f} = \mathcal{F}[f]$，$\hat{g} = \mathcal{F}[g]$：性质 $af + bg$$a\hat{f} + b\hat{g}$$f(x-a)$$e^{-ia\xi}\hat{f}(\xi)$$e…

高阶偏微分方程

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:49:26+00:00

第十四章高阶偏微分方程 14.1 双调和方程定义14.1.1（双调和算子） $$\Delta^2 u = \Delta(\Delta u) = \sum_{i,j}\frac{\partial^4 u}{\partial x_i^2 \partial x_j^2}$$ 双调和方程：$\Delta^2 u = 0$ 或 $-\Delta^2 u = f$ 物理背景： * 薄板弯曲理论（Kirchhoff板方程） * Stokes流 * 线弹性力学中的Airy应力函数基本解$$\Phi(x) = \frac{1}{8\pi}|x|^2\ln|x|$$$$\Phi(x) = \frac{|x|}{8\pi}$$$w(x,y)$$$D\Delta^2 w = q(x,y)$$$D = \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}$$E$$h$$\nu$$q$$w = \frac{\partial w}{\partial n} = 0$$w = M_n = 0$$M_n$$M_n = V_n = 0$$V_n$$$\sigma_x = \frac{\parti…

格林函数法

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:47:25+00:00

第九章格林函数法 9.1 格林函数的一般概念定义9.1.1（格林函数）对于线性微分算子 $L$，边值问题的格林函数 $G(x, y)$ 满足： $$LG(x, y) = \delta(x-y)$$ 并满足齐次边界条件。解的表示： $$u(x) = \int G(x,y)f(y)dy$$ 对称性：自伴算子的格林函数满足 $G(x,y) = G(y,x)$$Lu = -(p(x)u')' + q(x)u = f(x)$$a < x < b$$B_1u = B_2u = 0$$u_1, u_2$$Lu_1 = Lu_2 = 0$$W = p(x)(u_1u_2' - u_1'u_2) = \text{const}$$$G(x,y) = \begin{cases}\frac{u_1(x)u_2(y)}{W}, & a \leq x \leq y \\ \frac{u_1(y)u_2(x)}{W}, & y \leq x \leq b\end{cases}$$$u'' = f$$u(0) = u(1) = 0$$u_1 = x$$u(0) = 0$$u_2 = 1-x$$u(…

拉普拉斯变换法

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第八章拉普拉斯变换法 8.1 拉普拉斯变换的定义定义8.1.1（拉普拉斯变换）设 $f(t)$ 在 $[0, +\infty)$ 上分段连续，且 $|f(t)| \leq Me^{ct}$。其拉普拉斯变换定义为： $$F(s) = \mathcal{L}[f](s) = \int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt, \quad \text{Re}(s) > c$$ 逆拉普拉斯变换： $$f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s)e^{st}ds$$ 其中 $\gamma > c$。 8.2 基本性质定理8.2.1（基本性质）$F = \mathcal{L}[f]$$G = \mathcal{L}[g]$$af + bg$$aF + bG$$f(t-a)H(t-a)$$e^{-as}F(s)$$e^{at}f(t)$$F(s-a)$$f(at)$$\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$$f'(t)…

拉普拉斯方程

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:45:43+00:00

第五章拉普拉斯方程 5.1 拉普拉斯方程的基本形式定义5.1.1（Laplace方程） $$\Delta u = 0, \quad \text{或} \quad \nabla^2 u = 0$$ 其中 $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2}$ 是Laplace算子。定义5.1.2（Poisson方程） $$-\Delta u = f$$ 其中 $f$ 为已知函数。定义5.1.2（调和函数）满足Laplace方程的 $C^2$ 函数称为$u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$$\Omega$$\Delta u \geq 0$$\max_{\bar{\Omega}} u = \max_{\partial\Omega} u$$\Delta u \leq 0$$\min_{\bar{\Omega}} u = \min_{\partial\Omega} u$$u$$\Omega$$u$$u$$…

偏微分方程的基本概念

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T06:25:11+00:00

第一章偏微分方程的基本概念 1.1 引言偏微分方程是描述自然界中各种连续变化现象的重要数学工具。与常微分方程不同，偏微分方程涉及多元未知函数及其偏导数。在物理学、工程学、经济学、生物学等领域，许多现象都需要用偏微分方程来描述。$u = u(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$n$$u$$$F\left(x_1, x_2, \ldots, x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}, \ldots\right) = 0$$$F$$u$$u$$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \Delta u = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\righ…

热传导方程

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T06:34:27+00:00

第四章热传导方程 4.1 引言热传导方程是最典型的抛物型偏微分方程，描述热量传导、物质扩散等过程。与波动方程不同，热传导方程具有无限传播速度、解的平滑性、极值原理等独特性质。$u(x, y, z, t)$$\mathbf{q}(x, y, z, t)$$k$$\rho$$c$$f(x, y, z, t)$$$\mathbf{q} = -k \nabla u$$$\Omega$$$\frac{d}{dt} \int_\Omega \rho c u \, dx = -\int_{\partial \Omega} \mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \, dS + \int_\Omega f \, dx$$$$\int_\Omega \rho c \frac{\partial u}{\partial t} \, dx = \int_\Omega (k \Delta u + f) \, dx$$$\Omega$$$\rho c \frac{\partial u}{\partial t} = k \Delta u + f$$$$\frac{\partial u}{\p…

特征线法与守恒律

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:47:52+00:00

第十章特征线法与守恒律 10.1 一阶偏微分方程一般形式：$a(x,y,u)u_x + b(x,y,u)u_y = c(x,y,u)$ 特征方程： $$\frac{dx}{a} = \frac{dy}{b} = \frac{du}{c}$$ 或写成ODE系统： $$\frac{dx}{dt} = a, \quad \frac{dy}{dt} = b, \quad \frac{du}{dt} = c$$ 10.2 线性一阶方程问题：$a(x,y)u_x + b(x,y)u_y = c(x,y)$ 特征曲线：$\frac{dx}{a} = \frac{dy}{b}$，即 $\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a}$ 沿特征曲线，$u$ 满足 $\frac{du}{dx} = \frac{c}{a}$。例10.1：$u_x + u_y = 0$，$u(x,0) = \sin x$ 特征线：$y = x + c$，即 $x - y = \text{const}$ $u = f(x-y)$$f(x) = \sin x$$u = \sin(x-y)$$u…

一阶偏微分方程

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-21T06:27:27+00:00

第二章一阶偏微分方程 2.1 引言一阶偏微分方程虽然相对简单，但包含了偏微分方程理论的许多基本思想。特别是特征线法，它是求解一阶方程的有力工具，也是理解高阶方程的基础。 2.2 线性一阶偏微分方程 $$a(x, y) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y) \frac{\partial u}{\partial y} = c(x, y) u + d(x, y)$$$a, b, c, d$$d \equiv 0$$$\frac{dx}{a(x, y)} = \frac{dy}{b(x, y)}$$$$\frac{dx}{dt} = a(x, y), \quad \frac{dy}{dt} = b(x, y)$$$(x(t), y(t))$$$\frac{dx}{dt} = a, \quad \frac{dy}{dt} = b$$$U(t) = u(x(t), y(t))$$$\frac{dU}{dt} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u}{\par…

正则性理论

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:49:02+00:00

第十三章正则性理论 13.1 弱解的正则性问题：弱解是否有更高的光滑性？例：若 $f \in C^k$，是否 $u \in C^{k+2}$？ 13.2 内部正则性定理13.2.1（椭圆方程内部正则性）设 $u \in H^1(\Omega)$ 是 $-\Delta u = f$ 的弱解。 * 若 $f \in H^k(\Omega)$，则 $u \in H^{k+2}_{loc}(\Omega)$ * 若 $f \in C^{k,\alpha}(\Omega)$，则 $u \in C^{k+2,\alpha}_{loc}(\Omega)$$\partial\Omega \in C^{k+2}$$u \in H_0^1(\Omega)$$-\Delta u = f \in H^k(\Omega)$$u \in H^{k+2}(\Omega)$$$\|u\|_{H^{k+2}} \leq C(\|f\|_{H^k} + \|u\|_{L^2})$$$u \in C^{2,\alpha}(\Omega)$$Lu = f$$L$$a^{ij}, b^i, c …

sobolev空间

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-02-19T09:48:14+00:00

第十一章 Sobolev空间 11.1 弱导数定义11.1.1（弱导数）设 $u, v \in L_{loc}^1(\Omega)$，若对任意 $\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$： $$\int_\Omega u D^\alpha\varphi dx = (-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v\varphi dx$$ 则称 $v$ 为 $u$ 的 $\alpha$ 阶弱导数，记为 $D^\alpha u = v$。例11.1：$u(x) = |x|$ 在 $\mathbb{R}$ 上，弱导数为 $\text{sgn}(x)$。例11.2：$u(x) = \max(x,0)$，弱导数为Heaviside函数 $H(x)$。 11.2 Sobolev空间定义 $$W^{k,p}(\Omega) = \{u \in L^p(\Omega) : D^\alpha u \in L^p(\Omega), \forall |\alpha| \leq k\}$$$$\|u\|_{W^{k,p}} = \left(\sum_{|\al…