本章介绍计算机中数据的表示方法，包括各种数制、数制转换、数值数据的编码（原码、反码、补码）、浮点数表示、字符编码和校验码等内容。理解数据在计算机中的表示是掌握计算机系统知识的基础。
本章重点：
本章难点：
计算机内部使用二进制表示数据，但为了便于人类阅读和书写，常使用八进制和十六进制作为二进制的缩写形式。
十进制是人们日常生活中最常用的数制，使用0-9十个数字符号，基数为10，逢十进一。
位权表示法：
例如：$(123.45)_{10} = 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0 + 4 \times 10^{-1} + 5 \times 10^{-2}$
二进制是计算机内部使用的数制，只使用0和1两个数字符号，基数为2，逢二进一。
特点：
位权表示法：
例如：$(1011.01)_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}$
$= 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25 = (11.25)_{10}$
二进制与十进制对照表：
二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 十进制
─────────────────────────────────────────────────────────────
0000 0 0101 5 1010 10
0001 1 0110 6 1011 11
0010 2 0111 7 1100 12
0011 3 1000 8 1101 13
0100 4 1001 9 1110 14
1111 15
八进制使用0-7八个数字符号，基数为8，逢八进一。
与二进制的关系：一位八进制对应三位二进制
应用：早期计算机系统中常用于简化二进制表示，现较少使用。
十六进制使用0-9和A-F十六个符号（A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15），基数为16，逢十六进一。
与二进制的关系：一位十六进制对应四位二进制
应用：广泛用于表示内存地址、颜色值、机器码等。
数制对照表： 十进制 二进制 八进制 十六进制 ────────────────────────────────────── 0 0000 00 0 1 0001 01 1 2 0010 02 2 3 0011 03 3 4 0100 04 4 5 0101 05 5 6 0110 06 6 7 0111 07 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F
方法：按位权展开求和
示例1：将二进制 $(1101.01)_2$ 转换为十进制
$(1101.01)_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}$
$= 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 = (13.25)_{10}$
示例2：将十六进制 $(2A.8)_{16}$ 转换为十进制
$(2A.8)_{16} = 2 \times 16^1 + 10 \times 16^0 + 8 \times 16^{-1}$
$= 32 + 10 + 0.5 = (42.5)_{10}$
整数部分：除2取余，逆序排列
小数部分：乘2取整，顺序排列
示例：将十进制 $(25.375)_{10}$ 转换为二进制
整数部分（25）：
余数
25 ÷ 2 = 12 ... 1 ↑
12 ÷ 2 = 6 ... 0 │
6 ÷ 2 = 3 ... 0 │ 逆序排列
3 ÷ 2 = 1 ... 1 │
1 ÷ 2 = 0 ... 1 ↓
结果：(25)10 = (11001)2
小数部分（0.375）：
整数
0.375 × 2 = 0.75 ... 0 ↓
0.75 × 2 = 1.5 ... 1 │ 顺序排列
0.5 × 2 = 1.0 ... 1 ↑
结果：(0.375)10 = (0.011)2
最终结果：(25.375)10 = (11001.011)2
二进制转八进制：整数部分从右向左每3位一组，小数部分从左向右每3位一组，不足补零。
二进制转十六进制：整数部分从右向左每4位一组，小数部分从左向右每4位一组，不足补零。
二进制 ↔ 八进制/十六进制示例：
二进制： 1011010.1101
转八进制：
001 011 010 . 110 100
1 3 2 . 6 4
结果：(132.64)8
转十六进制：
0101 1010 . 1101
5 A . D
结果：(5A.D)16
真值：用正号、负号表示的数，如 +5、-7。
机器数：将符号数值化的数，用0表示正号，1表示负号。
真值与机器数示例： 真值 机器数（8位） ───────────────────────── +5 0 0000101 -5 1 0000101 +127 0 1111111 -127 1 1111111 ↑符号位（0为正，1为负）
定义：符号位加上数值的绝对值。
特点：
表示范围（n位）：$-(2^{n-1}-1)$ 到 $+(2^{n-1}-1)$
8位原码示例： 十进制 原码（8位） ──────────────────── +0 00000000 -0 10000000 +1 00000001 -1 10000001 +127 01111111 -127 11111111
定义：
特点：
8位反码示例： 十进制 原码 反码 ───────────────────────────── +5 00000101 00000101 -5 10000101 11111010 +0 00000000 00000000 -0 10000000 11111111 +127 01111111 01111111 -127 11111111 10000000 计算示例： 00000101 (+5) + 11111010 (-5反码) ─────────────── 11111111 (-0)
定义：
特点：
表示范围（n位）：$-2^{n-1}$ 到 $+(2^{n-1}-1)$
8位补码示例： 十进制 原码 反码 补码 ──────────────────────────────────────── +5 00000101 00000101 00000101 -5 10000101 11111010 11111011 +0 00000000 00000000 00000000 -0 10000000 11111111 00000000 +127 01111111 01111111 01111111 -127 11111111 10000000 10000001 -128 不存在 不存在 10000000
补码运算：
补码加法示例： 计算 5 + (-3)： 00000101 (+5补码) + 11111101 (-3补码) ─────────────── 1 00000010 (进位舍弃) 结果：00000010 = +2 ✓ 计算 (-5) + (-3)： 11111011 (-5补码) + 11111101 (-3补码) ─────────────── 1 11111000 (进位舍弃) 结果：11111000 → 取反加1 → 00001000 = -8 ✓
定义：在真值上加一个偏移量（常数）。n位移码的偏移量为 $2^{n-1}$。
公式：$[X]_{移} = 2^{n-1} + X$，其中 $-2^{n-1} \leq X < 2^{n-1}$
特点：
8位移码示例（偏移量128）： 十进制 补码 移码 ──────────────────────────── -128 10000000 00000000 -127 10000001 00000001 ... ... ... -1 11111111 01111111 0 00000000 10000000 +1 00000001 10000001 ... ... ... +127 01111111 11111111
浮点数用于表示实数，采用科学计数法的形式：$N = (-1)^S \times M \times R^E$
其中：
浮点数存储格式： ┌────────┬─────────────┬─────────────────┐ │ 符号 │ 阶码 │ 尾数 │ │ (S) │ (E) │ (M) │ └────────┴─────────────┴─────────────────┘ 1位 k位 n位
规格化形式：尾数的最高位为1（对于二进制）。
例如：$0.01101 \times 2^3$ 规格化为 $0.1101 \times 2^2$
目的：保证表示的唯一性，提高精度。
IEEE 754是浮点数的国际标准，定义了单精度和双精度两种格式。
单精度格式（32位）：
┌──────┬───────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
│ S │ E(8位) │ M(23位) │
│ 1位 │ 偏移量127 │ 隐含最高位1 │
└──────┴───────────────────────┴──────────────────────────────────────┘
计算公式：$N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127}$
范围：约 ±1.18×10^-38 到 ±3.4×10^38
精度：约7位十进制有效数字
特殊值：
双精度格式（64位）： ┌──────┬────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────┐ │ S │ E(11位) │ M(52位) │ │ 1位 │ 偏移量1023 │ 隐含最高位1 │ └──────┴────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────┘
计算公式：$N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-1023}$
范围：约 ±2.23×10^-308 到 ±1.8×10^308 精度：约15-16位十进制有效数字
示例：将 -12.375 表示为IEEE 754单精度浮点数
步骤： 1. 转换为二进制：-12.375 = -1100.011 2. 规格化：-1.100011 × 2^3 3. 符号位 S = 1（负数） 4. 阶码 E = 3 + 127 = 130 = 10000010 5. 尾数 M = 10001100000000000000000 结果： 1 10000010 10001100000000000000000 十六进制：0xC1460000
ASCII（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码）是最常用的字符编码。
特点：
ASCII码表（部分）： 十进制 字符 十进制 字符 十进制 字符 十进制 字符 ──────────────────────────────────────────────────────────────────── 48 '0' 65 'A' 97 'a' 49 '1' 66 'B' 98 'b' ... ... ... ... ... ... 57 '9' 90 'Z' 122 'z' 重要控制字符： 0 NUL（空） 9 TAB（制表） 10 LF（换行） 13 CR（回车） 27 ESC（退出） 32 SP（空格）
扩展ASCII：使用8位表示，共256个字符，增加了一些欧洲语言的符号。
Unicode是全球统一的字符编码标准，为世界上几乎所有字符分配唯一的数字编号。
特点：
UTF-8编码：Unicode的一种变长编码方式，与ASCII兼容。
UTF-8编码规则： Unicode范围 UTF-8字节序列 ───────────────────────────────────────── U+0000 ~ U+007F 0xxxxxxx U+0080 ~ U+07FF 110xxxxx 10xxxxxx U+0800 ~ U+FFFF 1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx U+10000 ~ U+10FFFF 11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx 示例： 'A' (U+0041) → 01000001 '中' (U+4E2D) → 11100100 10111000 10101101 (E4 B8 AD)
GB2312：中国国家标准，收录6763个汉字和682个非汉字图形字符，双字节编码。
GBK：对GB2312的扩展，收录21003个汉字，兼容GB2312。
GB18030：最新国家标准，收录27484个汉字，单字节、双字节、四字节编码。
Big5：台湾地区的繁体汉字编码。
原理：在数据位后增加一位校验位，使1的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。
特点：
奇偶校验示例： 数据 奇校验 偶校验 ───────────────────────────── 1011001 10110010 10110011 （4个1） （偶数个1） （奇数个1） 1000000 10000001 10000000 （1个1） （偶数个1） （奇数个1）
海明码（Hamming Code）是一种可以纠正一位错误的编码。
原理：在数据位中插入多个校验位，每个校验位负责校验特定的位组合。
校验位位置：位于 $2^i$ 的位置（1, 2, 4, 8, 16…）
海明码示例（4位数据，3位校验位）：
位置： 1 2 3 4 5 6 7
P1 P2 D1 P3 D2 D3 D4
↑ ↑ ↑
校验位 校验位
校验关系：
P1 = D1 ⊕ D2 ⊕ D4（位置3,5,7）
P2 = D1 ⊕ D3 ⊕ D4（位置3,6,7）
P3 = D2 ⊕ D3 ⊕ D4（位置5,6,7）
CRC是一种基于多项式除法的校验方法，广泛用于数据通信和存储。
原理：将数据视为一个多项式，除以生成多项式，余数作为校验码附加在数据后。
特点：
1. 将十进制数25转换为二进制，结果是（ ）
A. 10111 B. 11001 C. 10011 D. 11101
2. 8位补码表示的范围是（ ）
A. -127 ~ +127 B. -128 ~ +127
C. -127 ~ +128 D. -128 ~ +128
3. 下列编码中，0的表示唯一的是（ ）
A. 原码 B. 反码 C. 补码 D. 移码
4. IEEE 754单精度浮点数的阶码偏移量是（ ）
A. 127 B. 128 C. 255 D. 256
5. ASCII码使用（ ）位表示一个字符
A. 4 B. 7 C. 8 D. 16
1. 二进制数101101.11转换为十进制是_。 2. 十进制数-15的8位补码是_。
3. 十六进制数A3.5转换为二进制是_。 4. 浮点数由_、_和_三部分组成。
5. 奇偶校验可以检测_位错误，海明码可以纠正_位错误。
1. 将十进制数125.625转换为二进制、八进制和十六进制。
2. 已知X = +1011，Y = -0101，用8位补码计算X + Y和X - Y。
3. 将-28.5表示为IEEE 754单精度浮点数（用十六进制表示）。
4. 设生成多项式G(x) = x³ + x + 1，数据为1011，计算CRC校验码。
1. 简述原码、反码、补码的区别和各自的特点。
2. 为什么要对浮点数进行规格化？IEEE 754标准是如何实现规格化的？
3. 简述海明码的基本原理。
参考答案：
一、选择题：1.B 2.B 3.C 4.A 5.B
二、填空题： 1. 45.75
2. 11110001
3. 10100011.0101
4. 符号位、阶码、尾数
5. 奇数、1