定义 20.1（弱导数） 设 $u, v \in L_{loc}^1(\Omega)$，若对任意 $\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega)$ $$\int_{\Omega} u D^{\alpha}\varphi dx = (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} v \varphi dx$$ 则称 $v$ 为 $u$ 的 $\alpha$ 阶弱导数，记为 $D^{\alpha}u = v$。
例 20.1 函数 $u(x) = |x|$ 在 $\mathbb{R}$ 上的经典导数在 $x=0$ 不存在，但弱导数为 $$u'(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \ 1, & x > 0 \end{cases}$$
定义 20.2（Sobolev空间 $W^{k,p}$） $$W^{k,p}(\Omega) = \{u \in L^p(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^p(\Omega), \forall |\alpha| \leq k\}$$ 范数： $$\|u\|_{W^{k,p}} = \left(\sum_{|\alpha| \leq k} \|D^{\alpha}u\|_{L^p}^p\right)^{1/p}$$
特殊记号：
定理 20.1（Sobolev嵌入定理） 设 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是有界开集，$\partial\Omega$ 光滑。
1. 若 $kp < n$，则 $W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega)$，其中 $q = \frac{np}{n-kp}$ 2. 若 $kp > n$，则 $W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow C^{m,\alpha}(\bar{\Omega})$
迹定理： 若 $\partial\Omega$ 光滑，$u \in W^{1,p}(\Omega)$，则 $u$ 在边界上的迹 $u|_{\partial\Omega} \in L^p(\partial\Omega)$。
应用：