第十六章 谱理论基础

定义 16.1（谱与预解集） 设 $X$ 是复Banach空间，$T \in \mathcal{B}(X)$，$\lambda \in \mathbb{C}$。

1. 预解集 $\rho(T)$： 使 $(T - \lambda I)^{-1}$ 存在且有界的 $\lambda$ 的集合
2. 谱 $\sigma(T)$： $\rho(T)$ 在 $\mathbb{C}$ 中的补集
3. 预解式： $R(\lambda, T) = (T - \lambda I)^{-1}$，$\lambda \in \rho(T)$

谱的分类：

1. 点谱 $\sigma_p(T)$： $T - \lambda I$ 不是单射（特征值）
2. 连续谱 $\sigma_c(T)$： $T - \lambda I$ 是单射、值域稠密，但逆无界
3. 剩余谱 $\sigma_r(T)$： $T - \lambda I$ 是单射，但值域不稠密

定理 16.1 1. $\sigma(T)$ 是 $\mathbb{C}$ 的紧子集 2. $\sigma(T) \subset \{\lambda : |\lambda| \leq \|T\|\}$ 3. $\sigma(T) \neq \emptyset$ 4. 预解式 $R(\lambda, T)$ 在 $\rho(T)$ 上解析

定理 16.2（Gelfand谱半径公式） $$r(T) = \lim_{n \to \infty} \|T^n\|^{1/n} = \sup\{|\lambda| : \lambda \in \sigma(T)\}$$

定理 16.3 设 $H$ 是Hilbert空间，$T \in \mathcal{B}(H)$ 是自伴算子，则： 1. $\sigma(T) \subset \mathbb{R}$ 2. $\|T\| = \max\{|m|, |M|\}$，其中 $m = \inf_{\|x\|=1}(Tx,x)$，$M = \sup_{\|x\|=1}(Tx,x)$ 3. $\sigma(T) \subset [m, M]$，且 $m, M \in \sigma(T)$