有限维赋范空间虽然维度有限，却具有丰富的结构。与无限维空间相比，有限维空间具有许多良好的性质：所有范数等价、单位球是紧的、线性算子必有界等。这些性质使得有限维空间成为理解无限维空间的起点和参照。
本章将深入研究有限维赋范空间的特性，包括范数等价性、Minkowski泛函等重要概念。
定理 6.1（范数等价定理）设$X$是有限维线性空间，$\|\cdot\|_\alpha$和$\|\cdot\|_\beta$是$X$上的任意两个范数。则$\|\cdot\|_\alpha$与$\|\cdot\|_\beta$等价。
证明（详细版）：设$\dim X = n$，$\{e_1, \ldots, e_n\}$是$X$的一组基。
对$x = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i$，定义：
$$\|x\|_0 = \left(\sum_{i=1}^n |\xi_i|^2\right)^{1/2}$$
这是$\mathbb{K}^n$上标准欧几里得范数通过同构诱导的范数。
第一步：证明任意范数$\|\cdot\|$与$\|\cdot\|_0$等价。
上界：由三角不等式和Cauchy-Schwarz：
$$\|x\| = \left\|\sum_{i=1}^n \xi_i e_i\right\| \leq \sum_{i=1}^n |\xi_i| \|e_i\| \leq \left(\sum_{i=1}^n |\xi_i|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{i=1}^n \|e_i\|^2\right)^{1/2} = M \|x\|_0$$
其中$M = \left(\sum_{i=1}^n \|e_i\|^2\right)^{1/2}$。
下界：考虑单位球面$S = \{x : \|x\|_0 = 1\}$。定义：
$$f: S \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \|x\|$$
$f$连续：$|f(x) - f(y)| = |\|x\| - \|y\|| \leq \|x - y\| \leq M\|x - y\|_0$
$S$是$\mathbb{K}^n$中的紧集（闭且有界）。由连续函数在紧集上达到最小值，存在$x_0 \in S$使得：
$$m = f(x_0) = \inf_{x \in S} \|x\|$$
由于$x_0 \neq 0$且范数正定，$m = \|x_0\| > 0$。
对任意$x \neq 0$，$x/\|x\|_0 \in S$，故：
$$\left\|\frac{x}{\|x\|_0}\right\| \geq m \Rightarrow \|x\| \geq m \|x\|_0$$
综上：$m \|x\|_0 \leq \|x\| \leq M \|x\|_0$。
第二步：由等价关系的传递性，$\|\cdot\|_\alpha$与$\|\cdot\|_\beta$都等价于$\|\cdot\|_0$，故彼此等价。$\square$
定理 6.2 有限维赋范空间$X$是Banach空间。
证明：$X$与$\mathbb{K}^n$（某个$n$）代数同构。在$\mathbb{K}^n$上取标准范数$\|\cdot\|_2$，则$(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_2)$完备。由范数等价，$X$完备。$\square$
定理 6.3 有限维赋范空间中，子集$A$是紧集当且仅当$A$是有界闭集。
证明：
（$\Rightarrow$）紧集必有界闭（一般度量空间）。
（$\Leftarrow$）设$A$有界闭。取一组基，$X$与$\mathbb{K}^n$同构。$A$对应$\mathbb{K}^n$中的有界闭集，由Heine-Borel定理是紧集。$\square$
推论 6.1 有限维赋范空间的单位闭球是紧集。
注记：这是有限维空间与无限维空间的本质区别。在无限维赋范空间中，单位闭球不是紧集。
定理 6.4 赋范空间$X$是有限维的当且仅当其单位闭球$\bar{B}_X = \{x : \|x\| \leq 1\}$是紧集。
证明：
（$\Rightarrow$）已证。
（$\Leftarrow$）假设$\bar{B}_X$紧但$\dim X = \infty$。归纳构造序列$\{x_n\}$使得$\|x_n\| = 1$且$d(x_n, \text{span}\{x_1, \ldots, x_{n-1}\}) \geq 1/2$。
这样的序列满足$\|x_m - x_n\| \geq 1/2$（$m \neq n$），无收敛子列，与$\bar{B}_X$紧矛盾。$\square$
定理 6.5（Riesz引理）设$Y$是赋范空间$X$的真闭子空间。则对任意$\theta \in (0, 1)$，存在$x_\theta \in X$使得：
$$\|x_\theta\| = 1, \quad \inf_{y \in Y} \|x_\theta - y\| \geq \theta$$
证明：取$x \in X \setminus Y$，令$d = \inf_{y \in Y} \|x - y\|$。由于$Y$闭，$d > 0$。
对$\theta \in (0, 1)$，存在$y_0 \in Y$使得：
$$\|x - y_0\| \leq \frac{d}{\theta}$$
令$x_\theta = \frac{x - y_0}{\|x - y_0\|}$，则$\|x_\theta\| = 1$。
对任意$y \in Y$：
$$\|x_\theta - y\| = \left\|\frac{x - y_0}{\|x - y_0\|} - y\right\| = \frac{\|x - (y_0 + \|x - y_0\|y)\|}{\|x - y_0\|}$$
由于$y_0 + \|x - y_0\|y \in Y$：
$$\|x_\theta - y\| \geq \frac{d}{\|x - y_0\|} \geq \frac{d}{d/\theta} = \theta$$
$\square$
注记：当$\dim X < \infty$时，$\theta$可取为1（达到正交）。在无限维空间中，$\theta = 1$一般不可达到。
定义 6.1（凸集）设$X$是线性空间，子集$C \subseteq X$称为凸集，如果对任意$x, y \in C$和$t \in [0, 1]$：
$$tx + (1-t)y \in C$$
定义 6.2（吸收集）子集$A \subseteq X$称为吸收集，如果对任意$x \in X$，存在$t > 0$使得$tx \in A$。
等价地，$X = \bigcup_{t > 0} tA$。
定义 6.3（对称集）子集$A \subseteq X$称为对称的（或平衡的），如果对任意$x \in A$和$|\alpha| = 1$，有$\alpha x \in A$。
定义 6.4（Minkowski泛函）设$A \subseteq X$是凸的、吸收的、包含原点的子集。定义Minkowski泛函（或规范函数）：
$$p_A(x) = \inf\{t > 0 : x \in tA\} = \inf\{t > 0 : x/t \in A\}$$
注记：
定理 6.6（Minkowski泛函的基本性质）设$A$是凸的、吸收的、含原点的子集，则：
(1) $p_A(x) \geq 0$（正定性）；
(2) $p_A(\alpha x) = \alpha p_A(x)$对$\alpha \geq 0$（正齐次性）；
(3) $p_A(x + y) \leq p_A(x) + p_A(y)$（次可加性）；
(4) 若$A$对称，则$p_A(\alpha x) = |\alpha| p_A(x)$。
证明：
(2) 对$\alpha > 0$：
$$p_A(\alpha x) = \inf\{t > 0 : \alpha x \in tA\} = \inf\{t > 0 : x \in \frac{t}{\alpha}A\}$$
$$= \alpha \inf\{s > 0 : x \in sA\} = \alpha p_A(x)$$
(3) 对$\epsilon > 0$，存在$s, t > 0$使得：
$$x \in sA, \quad p_A(x) \leq s < p_A(x) + \epsilon/2$$
$$y \in tA, \quad p_A(y) \leq t < p_A(y) + \epsilon/2$$
由凸性：
$$\frac{x + y}{s + t} = \frac{s}{s+t}\cdot\frac{x}{s} + \frac{t}{s+t}\cdot\frac{y}{t} \in A$$
故$x + y \in (s + t)A$，$p_A(x + y) \leq s + t < p_A(x) + p_A(y) + \epsilon$。由$\epsilon$任意性得结论。$\square$
定理 6.7 设$p$是线性空间$X$上的泛函，满足：
(1) $p(x) \geq 0$，且$p(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$；
(2) $p(\alpha x) = |\alpha| p(x)$；
(3) $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$。
则$p$是$X$上的范数。
定理 6.8 设$A$是凸的、吸收的、对称的、有界的（不含整条直线）子集，且$\bigcap_{t > 0} tA = \{0\}$。则$p_A$是范数，且：
$$\{x : p_A(x) < 1\} \subseteq A \subseteq \{x : p_A(x) \leq 1\}$$
定理 6.9 设$X$是有限维赋范空间，$Y$是任意赋范空间。则每个线性算子$T: X \to Y$都有界（连续）。
证明：设$\dim X = n$，$\{e_1, \ldots, e_n\}$是基。对$x = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i$：
$$\|Tx\| = \left\|\sum_{i=1}^n \xi_i Te_i\right\| \leq \sum_{i=1}^n |\xi_i| \|Te_i\| \leq M' \sum_{i=1}^n |\xi_i|$$
其中$M' = \max_i \|Te_i\|$。由有限维空间范数等价，存在$M'' > 0$使得：
$$\sum_{i=1}^n |\xi_i| \leq M'' \|x\|$$
故$\|Tx\| \leq M' M'' \|x\| = M\|x\|$，$T$有界。$\square$
推论 6.2 有限维赋范空间上线性泛函都连续。
习题 6.1 证明：在有限维赋范空间中，所有线性子空间都是闭的。
习题 6.2 设$X$是赋范空间，$\dim X = \infty$。用Riesz引理证明$X$的单位球面$S_X$不是紧集。
习题 6.3 证明：若赋范空间$X$中每个有界序列都有收敛子列，则$X$是有限维的。
习题 6.4 设$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}$。求Minkowski泛函$p_A((x,y))$。
习题 6.5 设$C$是线性空间$X$中的凸集，$x_1, \ldots, x_n \in C$，$t_1, \ldots, t_n \geq 0$，$\sum t_i = 1$。证明$\sum_{i=1}^n t_i x_i \in C$（凸组合封闭）。
习题 6.6 证明：赋范空间中开球$B(0, r)$是凸的吸收集。
习题 6.7 设$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x| + |y| \leq 1\}$。求$p_A((x,y))$并验证它是范数。
习题 6.8 设$X$是有限维赋范空间，$T: X \to X$是线性双射。证明$T^{-1}$也是线性的且有界。
习题 6.9 证明：有限维赋范空间是自反的。
习题 6.10 设$X$是赋范空间，$Y$是有限维子空间。证明$Y$在$X$中是闭的。
本章深入研究了有限维赋范空间：