在度量空间的研究中，点集的性质起着核心作用。本章将深入探讨度量空间中几类重要的点集性质：稠密性、可分性、列紧性和紧性。这些概念不仅是度量空间理论的基础，也是现代分析学中不可或缺的工具。
紧性是数学中最重要的概念之一，它将有限集合的某些优良性质推广到了无限集合。在分析学中，紧性保证了连续函数的许多重要性质，如一致连续性、最大值最小值的存在性等。
定义 2.1（稠密集）设$(X, d)$是度量空间，$A \subseteq X$。如果$\bar{A} = X$，即$A$的闭包等于整个空间，则称$A$在$X$中稠密。
等价地，$A$在$X$中稠密当且仅当对任意$x \in X$和任意$\epsilon > 0$，存在$a \in A$使得$d(x, a) < \epsilon$。
定义 2.2（处处稠密与无处稠密）设$A \subseteq X$：
定理 2.1（稠密集的等价条件）设$A \subseteq X$，以下条件等价：
(1) $A$在$X$中稠密；
(2) 对任意非空开集$G$，有$G \cap A \neq \emptyset$；
(3) 对任意$x \in X$，存在$\{a_n\} \subseteq A$使得$a_n \to x$；
(4) $X \setminus A$不包含任何非空开集。
证明：
$(1) \Leftrightarrow (3)$：由闭包的定义，$x \in \bar{A}$当且仅当存在$\{a_n\} \subseteq A$使得$a_n \to x$。
$(1) \Rightarrow (2)$：设$A$稠密，$G$是非空开集。取$x \in G$，则存在$r > 0$使得$B(x, r) \subseteq G$。由于$x \in \bar{A}$，$B(x, r) \cap A \neq \emptyset$，故$G \cap A \neq \emptyset$。
$(2) \Rightarrow (4)$：若$X \setminus A$包含非空开集$G$，则$G \cap A = \emptyset$，与(2)矛盾。
$(4) \Rightarrow (1)$：若$\bar{A} \neq X$，则$X \setminus \bar{A}$是非空开集且$X \setminus \bar{A} \subseteq X \setminus A$，与(4)矛盾。$\square$
例 2.1 在$\mathbb{R}$中，有理数集$\mathbb{Q}$和无理数集$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$都稠密。
例 2.2 在$C[a,b]$（一致收敛度量）中，多项式全体稠密（Weierstrass逼近定理）。
定义 2.3（可分空间）度量空间$(X, d)$称为可分的，如果存在可数稠密子集。
例 2.3 $\mathbb{R}^n$是可分空间，$\mathbb{Q}^n$是可数稠密子集。
定理 2.2 $C[a,b]$是可分空间。
证明（概要）： 由Weierstrass逼近定理，多项式在$C[a,b]$中稠密。而有理系数多项式：
$$\mathbb{Q}[t] = \left\{\sum_{k=0}^{n} a_k t^k : n \geq 0, a_k \in \mathbb{Q}\right\}$$
是可数集且在$C[a,b]$中稠密。$\square$
定理 2.3 $l^p$（$1 \leq p < \infty$）是可分空间。
证明：令
$$E = \left\{x = (x_1, x_2, \ldots, x_n, 0, 0, \ldots) : n \geq 1, x_k \in \mathbb{Q}(\text{或}\mathbb{Q} + i\mathbb{Q})\right\}$$
$E$是可数集。对任意$y = (y_n) \in l^p$和$\epsilon > 0$：
(1) 存在$N$使得$\sum_{n=N+1}^\infty |y_n|^p < (\epsilon/2)^p$；
(2) 对每个$n = 1, \ldots, N$，取$x_n \in \mathbb{Q}$使得$|y_n - x_n|^p < \epsilon^p/(2^p N)$；
(3) 令$x = (x_1, \ldots, x_N, 0, 0, \ldots)$，则：
$$d_p(x, y)^p = \sum_{n=1}^N |x_n - y_n|^p + \sum_{n=N+1}^\infty |y_n|^p < \frac{\epsilon^p}{2^p} + \frac{\epsilon^p}{2^p} = \frac{\epsilon^p}{2^{p-1}} < \epsilon^p$$
故$d_p(x, y) < \epsilon$，$E$稠密。$\square$
定理 2.4 $l^\infty$不是可分空间。
证明：考虑子集
$$A = \left\{x = (x_n) : x_n \in \{0, 1\}\right\}$$
$A$不可数（与$\mathbb{R}$等势）。对$x, y \in A$，$x \neq y$，有$d_\infty(x, y) = 1$。
假设$l^\infty$可分，存在可数稠密子集$D = \{d_1, d_2, \ldots\}$。对每个$x \in A$，存在$d_{n(x)} \in D$使得$d_\infty(x, d_{n(x)}) < 1/3$。
若$x \neq y$，则$d_{n(x)} \neq d_{n(y)}$（否则$d_\infty(x, y) \leq d_\infty(x, d_{n(x)}) + d_\infty(d_{n(y)}, y) < 2/3$，矛盾）。
因此$n: A \to \mathbb{N}$是单射，$A$可数，矛盾。$\square$
定义 2.4（列紧集）设$A \subseteq X$。如果$A$中任一点列都有收敛子列（极限点不一定在$A$中），则称$A$为列紧集（或相对紧集）。如果$A$中任一点列都有在$A$中收敛的子列，则称$A$为自列紧集。
注记：
定理 2.5 列紧集的任何子集也是列紧集。
定理 2.6 有限个列紧集的并集是列紧集。
证明：设$A_1, \ldots, A_n$列紧，$A = \bigcup_{i=1}^n A_i$。设$\{x_k\}$是$A$中的点列，则至少有一个$A_i$包含$\{x_k\}$的无穷多项。由$A_i$列紧，有收敛子列。$\square$
定义 2.5（$\epsilon$-网）设$A \subseteq X$，$\epsilon > 0$。集合$E \subseteq X$称为$A$的$\epsilon$-网，如果对每个$x \in A$，存在$y \in E$使得$d(x, y) < \epsilon$。
等价地，$A \subseteq \bigcup_{y \in E} B(y, \epsilon)$。
定义 2.6（全有界集）集合$A \subseteq X$称为全有界的，如果对任意$\epsilon > 0$，$A$存在有限的$\epsilon$-网。
定理 2.7 列紧集必是全有界集。
证明：设$A$列紧但非全有界。则存在$\epsilon_0 > 0$，使得$A$没有有限$\epsilon_0$-网。
归纳构造点列：取$x_1 \in A$。假设$x_1, \ldots, x_n$已取定，由于$\{x_1, \ldots, x_n\}$不是$\epsilon_0$-网，存在$x_{n+1} \in A$使得$d(x_{n+1}, x_i) \geq \epsilon_0$对所有$i = 1, \ldots, n$成立。
这样得到点列$\{x_n\}$满足$d(x_m, x_n) \geq \epsilon_0$（$m \neq n$），该点列无收敛子列，矛盾。$\square$
定理 2.8 在完备度量空间中，全有界集是列紧集。
证明：设$X$完备，$A$全有界。设$\{x_n\}$是$A$中的点列。
(1) 取$\epsilon = 1$，存在有限$1$-网$E_1$。某个$B(y, 1)$（$y \in E_1$）包含$\{x_n\}$的无穷多项，记为$\{x_n^{(1)}\}$。
(2) 取$\epsilon = 1/2$，$\{x_n^{(1)}\}$全有界，存在子列$\{x_n^{(2)}\}$落在某个半径为$1/2$的球中。
(3) 继续此过程，得子列$\{x_n^{(k)}\}$满足：
(4) 取对角线子列$y_k = x_k^{(k)}$。当$m, n \geq N$时，$y_m, y_n$都是$\{x_k^{(N)}\}$中的项，故：
$$d(y_m, y_n) < \frac{2}{N}$$
$\{y_k\}$是Cauchy列，由完备性收敛。$\square$
推论 2.1 在完备度量空间中，列紧$\Leftrightarrow$全有界。
定义 2.7（开覆盖与紧集）设$A \subseteq X$。
(1) 一族开集$\{G_\alpha\}_{\alpha \in I}$称为$A$的开覆盖，如果$A \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} G_\alpha$。
(2) $A$称为紧集（或自列紧集），如果$A$的任一开覆盖都有有限子覆盖。
(3) $X$称为紧空间，如果$X$本身是紧集。
定理 2.9（Heine-Borel定理的特殊形式）在$\mathbb{R}^n$中，子集$A$是紧集当且仅当$A$是有界闭集。
证明：
（$\Rightarrow$）设$A$紧。$\{B(0, n) : n = 1, 2, \ldots\}$是$A$的开覆盖，有有限子覆盖，故$A$有界。设$\{x_n\}$$\subseteq A$，$x_n \to x$。若$x \notin A$，对每点$y \in A$，存在$r_y > 0$使得$B(y, r_y)$仅含$\{x_n\}$的有限项。$\{B(y, r_y)\}$是$A$的开覆盖，有有限子覆盖，故$\{x_n\}$只有有限项，矛盾。故$A$闭。
（$\Leftarrow$）设$A$有界闭。在$\mathbb{R}^n$中，有界$\Rightarrow$全有界（可用边长为$\epsilon/\sqrt{n}$的方格覆盖）。由$\mathbb{R}^n$完备和定理2.8，$A$列紧。由定理2.10，列紧$\Leftrightarrow$紧。$\square$
定理 2.10 在度量空间中，紧$\Leftrightarrow$自列紧。
证明：
（$\Rightarrow$）设$A$紧，$\{x_n\}$$\subseteq A$。若$\{x_n\}$无收敛子列，则对每个$x \in A$，存在$r_x > 0$使得$B(x, r_x)$仅含$\{x_n\}$的有限项。$\{B(x, r_x)\}_{x \in A}$是$A$的开覆盖，有有限子覆盖$\{B(x_i, r_{x_i})\}_{i=1}^k$。则$\{x_n\}$$\subseteq \bigcup_{i=1}^k B(x_i, r_{x_i})$只有有限项，矛盾。
（$\Leftarrow$）设$A$自列紧。则$A$全有界，故可分。设$\{G_\alpha\}$是$A$的开覆盖。假设无有限子覆盖。
由全有界性，对$n = 1, 2, \ldots$，存在有限$1/n$-网。若每个$\epsilon$-网中的点为中心的$\epsilon$-球都能被有限个$G_\alpha$覆盖，则$A$有有限子覆盖，矛盾。故存在$\{A_n\}$满足：
取$x_n \in A_n$，则$\{x_n\}$是Cauchy列（因$\text{diam}(A_n) \to 0$），收敛于$x \in A$（因$A$闭）。存在$G_{\alpha_0}$包含$x$，存在$r > 0$使得$B(x, r) \subseteq G_{\alpha_0}$。当$n$足够大时$A_n \subseteq B(x, r)$，故$A_n$被单个$G_{\alpha_0}$覆盖，矛盾。$\square$
定义 2.8（等度连续）函数族$\mathcal{F} \subseteq C[a,b]$称为等度连续的，如果对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对所有$f \in \mathcal{F}$和所有$x, y \in [a,b]$，当$|x - y| < \delta$时，有$|f(x) - f(y)| < \epsilon$。
定理 2.11（Arzelà-Ascoli定理）子集$\mathcal{F} \subseteq C[a,b]$（赋予上确界范数）是列紧的当且仅当：
(1) $\mathcal{F}$一致有界：存在$M > 0$使得对所有$f \in \mathcal{F}$和$x \in [a,b]$，$|f(x)| \leq M$；
(2) $\mathcal{F}$等度连续。
证明（概要）：
（$\Rightarrow$）若$\mathcal{F}$列紧，则全有界，故一致有界。等度连续性可通过反证法和列紧性证明。
（$\Leftarrow$）设$\{f_n\}$$\subseteq \mathcal{F}$。利用$[a,b]$可分，取可数稠密子集$\{x_k\}$。通过对角线法，得子列$\{f_{n_j}\}$使得对每个$k$，$\{f_{n_j}(x_k)\}$收敛。
利用等度连续性，可证$\{f_{n_j}\}$是Cauchy列，故收敛。$\square$
定理 2.12 设$f: X \to Y$是连续映射，$K \subseteq X$是紧集，则$f(K)$是$Y$中的紧集。
证明：设$\{G_\alpha\}$是$f(K)$的开覆盖。由$f$连续，$\{f^{-1}(G_\alpha)\}$是$K$的开覆盖。由$K$紧，有有限子覆盖$\{f^{-1}(G_{\alpha_i})\}_{i=1}^n$。则$\{G_{\alpha_i}\}_{i=1}^n$覆盖$f(K)$。$\square$
推论 2.2 紧集上的连续实值函数必能达到最大值和最小值。
证明：$f(K)$是$\mathbb{R}$中的紧集，故有界闭，包含其上确界和下确界。$\square$
定理 2.13 紧集上的连续映射是一致连续的。
证明：设$f: K \to Y$连续，$K$紧。对$\epsilon > 0$，对每个$x \in K$，存在$\delta_x > 0$使得当$d(x, x') < \delta_x$时，$d(f(x), f(x')) < \epsilon/2$。
$\{B(x, \delta_x/2)\}_{x \in K}$是$K$的开覆盖，有有限子覆盖$\{B(x_i, \delta_{x_i}/2)\}_{i=1}^n$。取$\delta = \min_{1 \leq i \leq n} \delta_{x_i}/2$。
当$d(x, y) < \delta$时，存在$i$使得$x \in B(x_i, \delta_{x_i}/2)$。则：
$$d(y, x_i) \leq d(y, x) + d(x, x_i) < \delta + \frac{\delta_{x_i}}{2} \leq \delta_{x_i}$$
故$d(f(x), f(x_i)) < \epsilon/2$，$d(f(y), f(x_i)) < \epsilon/2$，因此：
$$d(f(x), f(y)) \leq d(f(x), f(x_i)) + d(f(x_i), f(y)) < \epsilon$$
$\square$
习题 2.1 证明：度量空间$X$可分当且仅当$X$有一个可数的拓扑基。
习题 2.2 证明：完备度量空间的列紧子集是闭集。
习题 2.3 设$A$是度量空间$X$的列紧子集，证明$\bar{A}$是自列紧集。
习题 2.4 证明：在度量空间中，紧集必是有界闭集。
习题 2.5 设$K_1 \supseteq K_2 \supseteq \cdots$是度量空间中的一列非空紧集。证明$\bigcap_{n=1}^\infty K_n \neq \emptyset$。
习题 2.6 证明$l^2$中的单位闭球$\bar{B}(0, 1) = \{x : \|x\|_2 \leq 1\}$不是紧集。
习题 2.7 设$\mathcal{F} = \{f_n(x) = \sin(nx) : n = 1, 2, \ldots\}$$\subseteq C[0, \pi]$。证明$\mathcal{F}$不是列紧集。
习题 2.8 证明：若度量空间$X$是全有界的，则$X$是可分的。
习题 2.9 设$X$是度量空间，$A \subseteq X$。证明：$A$是紧集当且仅当$A$是自列紧集。
习题 2.10 设$f: X \to \mathbb{R}$是下半连续函数（即对任意$a$，$\{x : f(x) > a\}$是开集），$K$是$X$的非空紧子集。证明$f$在$K$上达到最小值。
本章系统介绍了度量空间中的点集理论：