本章研究度量空间之间的映射，特别是保持某种结构或性质的映射。连续映射是最基本的类型，它是拓扑学的核心概念。等距映射保持距离结构，是度量空间之间的“同构”。利普希茨映射是一类重要的映射，它不仅连续，而且具有更强的正则性。
理解这些映射的性质对于研究泛函分析中的算子理论至关重要。
定义 4.1（连续性）设$(X, d_X)$和$(Y, d_Y)$是度量空间，映射$f: X \to Y$，$x_0 \in X$。
(1) $f$在$x_0$处连续，如果对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$d_X(x, x_0) < \delta$时：
$$d_Y(f(x), f(x_0)) < \epsilon$$
(2) $f$在$X$上连续，如果$f$在$X$的每一点都连续。
(3) $f$一致连续，如果对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对所有$x_1, x_2 \in X$，当$d_X(x_1, x_2) < \delta$时：
$$d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \epsilon$$
注记：一致连续性中$\delta$仅依赖于$\epsilon$，与点的位置无关；而普通连续性中$\delta$可能依赖于$\epsilon$和点$x_0$。
例 4.1 $f(x) = x^2$在$\mathbb{R}$上连续但非一致连续。
证明：连续性显然。对$\epsilon = 1$，假设存在$\delta > 0$。取$x = n$，$y = n + \delta/2$，则$|x - y| = \delta/2 < \delta$，但：
$$|f(y) - f(x)| = |y^2 - x^2| = |y+x||y-x| = (2n + \delta/2)(\delta/2) > n\delta$$
当$n$足够大时，$n\delta > 1$。
例 4.2 $f(x) = \sqrt{x}$在$[0, \infty)$上一致连续。
证明：$|\sqrt{x} - \sqrt{y}| = \frac{|x-y|}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$。当$|x-y| < \delta$时：
定理 4.1（连续性的等价条件）设$f: X \to Y$，以下条件等价：
(1) $f$在$x_0$处连续；
(2) 对$f(x_0)$的任意邻域$V$，存在$x_0$的邻域$U$使得$f(U) \subseteq V$；
(3) 对任意$\epsilon > 0$，$f^{-1}(B(f(x_0), \epsilon))$是$x_0$的邻域；
(4) 若$x_n \to x_0$，则$f(x_n) \to f(x_0)$。
定理 4.2（整体连续性的等价条件）设$f: X \to Y$，以下条件等价：
(1) $f$在$X$上连续；
(2) 对$Y$的任意开集$G$，$f^{-1}(G)$是$X$的开集；
(3) 对$Y$的任意闭集$F$，$f^{-1}(F)$是$X$的闭集；
(4) 对任意$A \subseteq X$，$f(\bar{A}) \subseteq \overline{f(A)}$。
证明（$(1) \Leftrightarrow (2)$）：
$(1) \Rightarrow (2)$：设$G$是$Y$的开集，$x_0 \in f^{-1}(G)$。则$f(x_0) \in G$，存在$\epsilon > 0$使得$B(f(x_0), \epsilon) \subseteq G$。由连续性，存在$\delta > 0$使得$f(B(x_0, \delta)) \subseteq B(f(x_0), \epsilon) \subseteq G$，故$B(x_0, \delta) \subseteq f^{-1}(G)$，$f^{-1}(G)$开。
$(2) \Rightarrow (1)$：对$x_0 \in X$和$\epsilon > 0$，$B(f(x_0), \epsilon)$是开集，故$f^{-1}(B(f(x_0), \epsilon))$是开集且含$x_0$。存在$\delta > 0$使得$B(x_0, \delta) \subseteq f^{-1}(B(f(x_0), \epsilon))$，即$f(B(x_0, \delta)) \subseteq B(f(x_0), \epsilon)$。$\square$
定理 4.3 连续映射的复合是连续的。即若$f: X \to Y$和$g: Y \to Z$都连续，则$g \circ f: X \to Z$连续。
定理 4.4（Cantor定理）紧度量空间上的连续映射是一致连续的。
证明：设$f: K \to Y$连续，$K$紧。对$\epsilon > 0$，对每个$x \in K$，存在$\delta_x > 0$使得$f(B(x, \delta_x)) \subseteq B(f(x), \epsilon/2)$。
$\{B(x, \delta_x/2)\}_{x \in K}$是$K$的开覆盖，有有限子覆盖$\{B(x_i, \delta_{x_i}/2)\}_{i=1}^n$。取$\delta = \min_{1 \leq i \leq n} \delta_{x_i}/2$。
当$d(x, y) < \delta$时，存在$i$使得$x \in B(x_i, \delta_{x_i}/2)$。则：
$$d(y, x_i) \leq d(y, x) + d(x, x_i) < \delta + \frac{\delta_{x_i}}{2} \leq \delta_{x_i}$$
故$x, y \in B(x_i, \delta_{x_i})$，$f(x), f(y) \in B(f(x_i), \epsilon/2)$。因此：
$$d(f(x), f(y)) \leq d(f(x), f(x_i)) + d(f(x_i), f(y)) < \epsilon$$
$\square$
定理 4.5 紧集上的连续实值函数必达到最大值和最小值。
证明：$f(K)$是$\mathbb{R}$中的紧集，故有界闭。$\sup f(K) \in f(K)$，$\inf f(K) \in f(K)$。$\square$
定义 4.2（同胚）设$f: X \to Y$是双射。如果$f$和$f^{-1}$都连续，则称$f$为同胚映射，$X$和$Y$同胚。
注记：同胚是拓扑学的基本等价关系。同胚的空间具有相同的拓扑性质（开集、闭集、收敛性、紧性等）。
例 4.3 $(-1, 1)$与$\mathbb{R}$同胚。同胚映射为$f(x) = \tan(\frac{\pi}{2}x)$或$f(x) = \frac{x}{1-|x|}$。
例 4.4 闭区间$[a,b]$与$[c,d]$同胚（线性映射）。但$[0,1]$与$(0,1)$不同胚（前者紧后者不紧）。
定理 4.6（同胚不变量）以下性质在同胚下保持不变：
定义 4.3（等距映射）设$(X, d_X)$和$(Y, d_Y)$是度量空间，映射$T: X \to Y$称为等距映射（或保距映射），如果对任意$x_1, x_2 \in X$：
$$d_Y(Tx_1, Tx_2) = d_X(x_1, x_2)$$
若$T$还是双射，则称$X$与$Y$等距同构。
注记：
例 4.5 $\mathbb{R}^n$上的平移$T(x) = x + a$是等距映射。
例 4.6 $\mathbb{R}^n$上的正交变换是等距映射。
例 4.7 设$X = l^2$，$e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)$（第$n$位为1）。映射$T: l^2 \to l^2$，$T(x_1, x_2, \ldots) = (0, x_1, x_2, \ldots)$（右移算子）是等距映射但不是满射。
定理 4.7 等距映射$T: X \to Y$将：
(1) 开球映为开球：$T(B(x, r)) = B(Tx, r)$；
(2) 闭球映为闭球：$T(\bar{B}(x, r)) = \bar{B}(Tx, r)$；
(3) Cauchy列映为Cauchy列；
(4) 收敛列映为收敛列。
证明：直接由定义验证。$\square$
定理 4.8 设$X$完备，$Y$是度量空间，$T: X \to Y$是等距映射。则$T(X)$是$Y$的完备子空间。
证明：设$\{y_n\}$$\subseteq T(X)$是Cauchy列，$y_n = Tx_n$。由$T$等距，$\{x_n\}$是$X$中的Cauchy列。由$X$完备，$x_n \to x$。由$T$连续，$y_n = Tx_n \to Tx \in T(X)$。$\square$
定义 4.4（利普希茨映射）设$(X, d_X)$和$(Y, d_Y)$是度量空间，映射$f: X \to Y$称为利普希茨映射，如果存在常数$L > 0$，使得对所有$x_1, x_2 \in X$：
$$d_Y(f(x_1), f(x_2)) \leq L \cdot d_X(x_1, x_2)$$
最小的这样的$L$称为利普希茨常数，记作$\text{Lip}(f)$。
定义 4.5（压缩映射回顾）若$\text{Lip}(f) < 1$，则$f$称为压缩映射。
注记：
$$\text{Lip}(f) = \sup_{x_1 \neq x_2} \frac{d_Y(f(x_1), f(x_2))}{d_X(x_1, x_2)}$$
例 4.8 可微函数$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$满足$|f'(x)| \leq L$对所有$x$，则$f$是利普希茨映射，且$\text{Lip}(f) \leq L$。
证明：由中值定理，$|f(x) - f(y)| = |f'(\xi)| |x - y| \leq L|x - y|$。
例 4.9 投影映射$\pi_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，$\pi_i(x_1, \ldots, x_n) = x_i$是利普希茨映射：
$$|\pi_i(x) - \pi_i(y)| = |x_i - y_i| \leq \left(\sum_{j=1}^n |x_j - y_j|^2\right)^{1/2} = d_2(x, y)$$
定理 4.9
(1) 利普希茨映射的复合是利普希茨映射：
$$\text{Lip}(g \circ f) \leq \text{Lip}(g) \cdot \text{Lip}(f)$$
(2) 利普希茨映射的和是利普希茨映射（在适当条件下）。
证明：
(1) $d(g(f(x)), g(f(y))) \leq \text{Lip}(g) \cdot d(f(x), f(y)) \leq \text{Lip}(g) \cdot \text{Lip}(f) \cdot d(x, y)$
$\square$
定理 4.10 设$K \subseteq \mathbb{R}^n$是凸集，$f: K \to \mathbb{R}^m$可微。则：
$$\text{Lip}(f) = \sup_{x \in K} \|f'(x)\|$$
其中$f'(x)$是Jacobi矩阵，$\|\cdot\|$是算子范数。
Picard-Lindelöf定理：考虑初值问题：
$$\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$$
若$f$在矩形区域$R = \{(x,y) : |x-x_0| \leq a, |y-y_0| \leq b\}$上连续，且关于$y$满足利普希茨条件：
$$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L|y_1 - y_2|$$
则初值问题在$|x - x_0| \leq h$（$h = \min\{a, b/M\}$，$M = \max_R |f|$）上存在唯一解。
证明概要：等价于积分方程：
$$y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))dt$$
定义$(Ty)(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))dt$。证明$T$是适当空间上的压缩映射，应用不动点定理。$\square$
定义 4.6（一致同胚）映射$f: X \to Y$称为一致同胚，如果$f$是双射且$f$和$f^{-1}$都一致连续。
定义 4.7（拟等距）映射$f: X \to Y$称为拟等距（或粗等距），如果存在常数$L \geq 1$和$C \geq 0$，使得对所有$x_1, x_2 \in X$：
$$\frac{1}{L}d_X(x_1, x_2) - C \leq d_Y(f(x_1), f(x_2)) \leq L \cdot d_X(x_1, x_2) + C$$
且$f(X)$在$Y$中是C-稠密的（即每个$y \in Y$与$f(X)$的距离不超过$C$）。
注记：拟等距在大规模几何（geometric group theory）中很重要，它保持了空间的“大尺度”结构。
习题 4.1 证明$f(x) = \frac{1}{x}$在$(0, 1]$上连续但非一致连续，在$[a, \infty)$（$a > 0$）上一致连续。
习题 4.2 设$f: X \to Y$连续，$K \subseteq X$紧。证明$f|_K$（$f$在$K$上的限制）一致连续。
习题 4.3 证明度量空间$X$和$Y$等距同构当且仅当存在满射$T: X \to Y$使得对所有$x_1, x_2 \in X$，$d_Y(Tx_1, Tx_2) = d_X(x_1, x_2)$。
习题 4.4 设$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$满足$\|f(x) - f(y)\| = \|x - y\|$对所有$x, y$且$f(0) = 0$。证明$f$是线性正交变换。
习题 4.5 设$f: X \to Y$是利普希茨映射，$A \subseteq X$。证明：
$$\text{diam}(f(A)) \leq \text{Lip}(f) \cdot \text{diam}(A)$$
习题 4.6 设$f_n: X \to Y$是一列连续映射，$f_n \rightrightarrows f$（一致收敛）。证明$f$连续。
习题 4.7 证明$C[0,1]$（上确界范数）与$C[a,b]$等距同构。
习题 4.8 设$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$可微且$|f'(x)| \leq L$。证明$f$是利普希茨映射且$\text{Lip}(f) \leq L$。
习题 4.9 构造一个连续但不是利普希茨的映射的例子。
习题 4.10 证明：紧度量空间上的双射连续映射是同胚映射。
本章系统研究了度量空间之间的各类映射：