完备性是度量空间最重要的性质之一。在实数理论中，我们知道$\mathbb{R}$相对于$\mathbb{Q}$的一个重要优势是完备性：$\mathbb{R}$中的任何Cauchy列都收敛，而$\mathbb{Q}$不具备这一性质。这种完备性保证了极限运算的封闭性，是微积分理论的基础。
本章将这一概念推广到一般的度量空间，研究完备度量空间的性质、完备化构造以及最重要的应用——压缩映射原理和不动点定理。
定义 3.1（Cauchy列）设$(X, d)$是度量空间，$\{x_n\}_{n=1}^\infty$是$X$中的点列。如果对于任意$\epsilon > 0$，存在正整数$N$，使得当$m, n \geq N$时：
$$d(x_m, x_n) < \epsilon$$
则称$\{x_n\}$为Cauchy列（或基本列）。
等价表述：$\{x_n\}$是Cauchy列当且仅当$\lim_{m,n \to \infty} d(x_m, x_n) = 0$。
定义 3.2（完备度量空间）度量空间$(X, d)$称为完备的，如果$X$中的每个Cauchy列都在$X$中收敛。
定理 3.1（Cauchy列的基本性质）
(1) 收敛列必是Cauchy列；
(2) Cauchy列必有界；
(3) Cauchy列的任一子列仍是Cauchy列；
(4) 若Cauchy列有收敛子列，则该列收敛。
证明：
(1) 设$x_n \to x$。对$\epsilon > 0$，存在$N$使得当$n \geq N$时$d(x_n, x) < \epsilon/2$。则当$m, n \geq N$时：
$$d(x_m, x_n) \leq d(x_m, x) + d(x, x_n) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
(2) 对$\epsilon = 1$，存在$N$使得当$m, n \geq N$时$d(x_m, x_n) < 1$。令$M = \max\{d(x_1, x_N), \ldots, d(x_{N-1}, x_N)\} + 1$，则对所有$n$，$d(x_n, x_N) \leq M$。
(4) 设$\{x_{n_k}\}$收敛于$x$。对$\epsilon > 0$，存在$N_1$使得当$m, n \geq N_1$时$d(x_m, x_n) < \epsilon/2$；存在$K$使得当$k \geq K$时$d(x_{n_k}, x) < \epsilon/2$。取$N = \max\{N_1, n_K\}$，当$n \geq N$时：
$$d(x_n, x) \leq d(x_n, x_{n_K}) + d(x_{n_K}, x) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
$\square$
注记：在一般度量空间中，Cauchy列未必收敛。例如，$\mathbb{Q}$（具有通常度量）不完备，$x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$是Cauchy列但不收敛于有理数。
定理 3.2 $\mathbb{R}^n$（具有通常欧几里得度量）是完备度量空间。
证明：设$\{x^{(k)}\}$是$\mathbb{R}^n$中的Cauchy列，其中$x^{(k)} = (x_1^{(k)}, \ldots, x_n^{(k)})$。
对每个$i = 1, \ldots, n$：
$$|x_i^{(m)} - x_i^{(k)}| \leq \left(\sum_{j=1}^n |x_j^{(m)} - x_j^{(k)}|^2\right)^{1/2} = d_2(x^{(m)}, x^{(k)})$$
故$\{x_i^{(k)}\}_{k=1}^\infty$是$\mathbb{R}$中的Cauchy列。由$\mathbb{R}$的完备性，$x_i^{(k)} \to x_i$（$k \to \infty$）。令$x = (x_1, \ldots, x_n)$，则：
$$d_2(x^{(k)}, x) = \left(\sum_{i=1}^n |x_i^{(k)} - x_i|^2\right)^{1/2} \to 0$$
故$x^{(k)} \to x$。$\square$
定理 3.3 $l^\infty$是完备度量空间。
证明：设$\{x^{(n)}\}$是$l^\infty$中的Cauchy列，其中$x^{(n)} = (x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, \ldots)$。
对每个固定的$k$，$\{x_k^{(n)}\}_{n=1}^\infty$是$\mathbb{C}$（或$\mathbb{R}$）中的Cauchy列：
$$|x_k^{(m)} - x_k^{(n)}| \leq \sup_j |x_j^{(m)} - x_j^{(n)}| = d_\infty(x^{(m)}, x^{(n)})$$
由$\mathbb{C}$的完备性，$x_k^{(n)} \to x_k$（$n \to \infty$）。令$x = (x_1, x_2, \ldots)$。
(1) 证明$x \in l^\infty$：$\{x^{(n)}\}$是Cauchy列，故有界，存在$M > 0$使得对所有$n$，$\|x^{(n)}\|_\infty \leq M$。则对每个$k$：
$$|x_k| = \lim_{n \to \infty} |x_k^{(n)}| \leq M$$
故$\|x\|_\infty \leq M$，$x \in l^\infty$。
(2) 证明$x^{(n)} \to x$：对$\epsilon > 0$，存在$N$使得当$m, n \geq N$时：
$$\sup_k |x_k^{(m)} - x_k^{(n)}| < \epsilon$$
令$m \to \infty$，得$\sup_k |x_k - x_k^{(n)}| \leq \epsilon$，即$d_\infty(x, x^{(n)}) \leq \epsilon$。$\square$
定理 3.4 $C[a,b]$（赋予上确界范数）是完备度量空间。
证明：设$\{f_n\}$是$C[a,b]$中的Cauchy列。
(1) 对每个$t \in [a,b]$，$\{f_n(t)\}$是$\mathbb{R}$中的Cauchy列，故收敛。定义$f(t) = \lim_{n \to \infty} f_n(t)$。
(2) 证明$f_n$一致收敛于$f$：对$\epsilon > 0$，存在$N$使得当$m, n \geq N$时：
$$\sup_{t \in [a,b]} |f_m(t) - f_n(t)| < \epsilon$$
令$m \to \infty$，得$|f(t) - f_n(t)| \leq \epsilon$对所有$t \in [a,b]$和$n \geq N$成立。故$f_n \rightrightarrows f$。
(3) 由一致收敛性，$f \in C[a,b]$。$\square$
定理 3.5 对$1 \leq p < \infty$，$l^p$是完备度量空间。
证明：设$\{x^{(n)}\}$是$l^p$中的Cauchy列。类似定理3.3的证明，对每个$k$，$x_k^{(n)} \to x_k$。
对任意$\epsilon > 0$，存在$N$使得当$m, n \geq N$时：
$$\sum_{k=1}^\infty |x_k^{(m)} - x_k^{(n)}|^p < \epsilon^p$$
对任意正整数$K$：
$$\sum_{k=1}^K |x_k^{(m)} - x_k^{(n)}|^p < \epsilon^p$$
令$m \to \infty$：
$$\sum_{k=1}^K |x_k - x_k^{(n)}|^p \leq \epsilon^p$$
令$K \to \infty$：
$$\sum_{k=1}^\infty |x_k - x_k^{(n)}|^p \leq \epsilon^p$$
故$x - x^{(n)} \in l^p$，$x = (x - x^{(n)}) + x^{(n)} \in l^p$，且$d_p(x, x^{(n)}) \leq \epsilon$。$\square$
许多重要的度量空间不完备。例如：
定义 3.3（等距同构）设$(X, d_X)$和$(Y, d_Y)$是度量空间。映射$T: X \to Y$称为等距映射，如果对任意$x_1, x_2 \in X$：
$$d_Y(Tx_1, Tx_2) = d_X(x_1, x_2)$$
若$T$还是双射，则称$X$与$Y$等距同构。
定义 3.4（完备化）度量空间$(\tilde{X}, \tilde{d})$称为$(X, d)$的完备化，如果：
(1) $(\tilde{X}, \tilde{d})$是完备度量空间；
(2) 存在等距映射$T: X \to \tilde{X}$；
(3) $T(X)$在$\tilde{X}$中稠密。
定理 3.6（完备化定理）每个度量空间都有完备化，且在等距同构意义下唯一。
证明（存在性概要）：
设$(X, d)$是度量空间。定义：
$$\tilde{X} = \left\{\{x_n\} : \{x_n\} \text{ 是 } X \text{ 中的Cauchy列}\right\} / \sim$$
其中$\{x_n\} \sim \{y_n\}$当且仅当$\lim_{n \to \infty} d(x_n, y_n) = 0$。
定义$\tilde{d}([\{x_n\}], [\{y_n\}]) = \lim_{n \to \infty} d(x_n, y_n)$（极限存在因$|d(x_m, y_m) - d(x_n, y_n)| \leq d(x_m, x_n) + d(y_m, y_n) \to 0$）。
嵌入$T: X \to \tilde{X}$定义为$T(x) = [\{x, x, x, \ldots\}]$（常值列的等价类）。
可验证$(\tilde{X}, \tilde{d})$完备，$T$是等距嵌入，$T(X)$稠密。$\square$
定理 3.7（唯一性）若$(\tilde{X}_1, \tilde{d}_1)$和$(\tilde{X}_2, \tilde{d}_2)$都是$(X, d)$的完备化，则它们等距同构。
定义 3.5（压缩映射）设$(X, d)$是度量空间，映射$T: X \to X$称为压缩映射，如果存在常数$\alpha \in [0, 1)$，使得对所有$x, y \in X$：
$$d(Tx, Ty) \leq \alpha \cdot d(x, y)$$
常数$\alpha$称为压缩系数或Lipschitz常数。
注记：
例 3.1 设$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$可微且$|f'(x)| \leq \alpha < 1$对所有$x$成立。由中值定理，$f$是压缩映射。
例 3.2 设$K: [a,b] \times [a,b] \to \mathbb{R}$连续，
$$(Tf)(x) = \lambda \int_a^b K(x,y)f(y)dy$$
若$|\lambda|$足够小，$T$可以是$C[a,b]$上的压缩映射。
定理 3.8（Banach压缩映射原理/不动点定理）设$(X, d)$是完备度量空间，$T: X \to X$是压缩映射（压缩系数为$\alpha$）。则：
(1) $T$存在唯一的不动点$x^* \in X$，即$Tx^* = x^*$；
(2) 对任意初值$x_0 \in X$，迭代序列$x_{n+1} = Tx_n$收敛于$x^*$；
(3) 有以下误差估计：
$$d(x_n, x^*) \leq \frac{\alpha^n}{1-\alpha} d(x_1, x_0)$$
$$d(x_n, x^*) \leq \frac{\alpha}{1-\alpha} d(x_n, x_{n-1})$$
证明：
(1) 任取$x_0 \in X$，定义$x_{n+1} = Tx_n$。
对$n \geq 1$：
$$d(x_{n+1}, x_n) = d(Tx_n, Tx_{n-1}) \leq \alpha \cdot d(x_n, x_{n-1}) \leq \cdots \leq \alpha^n \cdot d(x_1, x_0)$$
对$m > n$：
$$\begin{align}d(x_m, x_n) &\leq \sum_{k=n}^{m-1} d(x_{k+1}, x_k) \\&\leq \sum_{k=n}^{m-1} \alpha^k \cdot d(x_1, x_0) \\&\leq \frac{\alpha^n}{1-\alpha} \cdot d(x_1, x_0) \to 0 \quad (n \to \infty)\end{align}$$ 故$\{x_n\}$是Cauchy列。由完备性，$x_n \to x^*$。
由$T$的连续性：
$$Tx^* = T(\lim_{n \to \infty} x_n) = \lim_{n \to \infty} Tx_n = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = x^*$$
(2) 唯一性：设$x^*, y^*$都是不动点，则：
$$d(x^*, y^*) = d(Tx^*, Ty^*) \leq \alpha \cdot d(x^*, y^*)$$
由于$\alpha < 1$，必有$d(x^*, y^*) = 0$，即$x^* = y^*$。
(3) 误差估计：在$d(x_m, x_n) \leq \frac{\alpha^n}{1-\alpha} d(x_1, x_0)$中令$m \to \infty$得第一个估计。
由三角不等式：
$$d(x_n, x^*) \leq d(x_n, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, x^*) \leq \alpha \cdot d(x_{n-1}, x_n) + \alpha \cdot d(x_n, x^*)$$
解得第二个估计。$\square$
注记：
例 3.3（Fredholm积分方程）考虑方程：
$$f(x) = \lambda \int_a^b K(x,y)f(y)dy + g(x)$$
其中$K \in C([a,b] \times [a,b])$，$g \in C[a,b]$。
定义$T: C[a,b] \to C[a,b]$：
$$(Tf)(x) = \lambda \int_a^b K(x,y)f(y)dy + g(x)$$
设$M = \max_{x,y} |K(x,y)|$。则：
$$|(Tf)(x) - (Th)(x)| \leq |\lambda| M (b-a) \|f - h\|_\infty$$
当$|\lambda| < \frac{1}{M(b-a)}$时，$T$是压缩映射，方程存在唯一解。
例 3.4（Volterra积分方程）考虑：
$$f(x) = \lambda \int_a^x K(x,y)f(y)dy + g(x)$$
Volterra算子$(Tf)(x) = \lambda \int_a^x K(x,y)f(y)dy + g(x)$对任意$\lambda$，当$n$足够大时$T^n$是压缩映射，故总有唯一解。
习题 3.1 证明：度量空间$X$完备当且仅当$X$中每个全有界的Cauchy列都收敛。
习题 3.2 设$\{x_n\}$是度量空间$X$中的Cauchy列，$\{y_n\}$$\subseteq X$满足$\sum_{n=1}^\infty d(x_n, y_n) < \infty$。证明$\{y_n\}$也是Cauchy列且与$\{x_n\}$有相同的极限（若存在）。
习题 3.3 证明$C[0,1]$在$L^1$度量下不完备。
习题 3.4 设$X$是完备度量空间，$\{F_n\}$是$X$中一列非空闭集，满足$F_1 \supseteq F_2 \supseteq \cdots$且$\text{diam}(F_n) \to 0$。证明$\bigcap_{n=1}^\infty F_n$是单点集。
习题 3.5 设$T: X \to X$满足$d(Tx, Ty) < d(x, y)$对所有$x \neq y$。若$X$是紧度量空间，证明$T$有唯一不动点。
习题 3.6 设$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$满足$|f(x) - f(y)| \leq k|x - y|$其中$0 \leq k < 1$。证明方程$x = f(x)$有唯一解，并可用迭代法逼近。
习题 3.7 设$A$是$n \times n$矩阵，$\|A\| < 1$（算子范数）。证明$I - A$可逆，且$(I-A)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty A^n$。
习题 3.8 设$X$是度量空间，证明存在完备度量空间$\tilde{X}$和等距嵌入$\phi: X \to \tilde{X}$使得$\phi(X)$在$\tilde{X}$中稠密。
习题 3.9 证明：若$T^n$是压缩映射（对某个$n$），则$T$有唯一不动点。
习题 3.10 设$f: [a,b] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$满足Lipschitz条件：
$$|f(x, u) - f(x, v)| \leq L|u - v|$$
考虑初值问题：$y' = f(x, y)$，$y(x_0) = y_0$。用不动点定理证明解的存在唯一性。
本章深入探讨了完备度量空间的理论：