在泛函分析中，我们经常需要从已有的空间构造新的空间。商空间和积空间是两种基本的构造方法。商空间通过“粘合”某些元素来简化结构，而积空间则将多个空间“叠加”在一起。这两种构造在泛函分析的理论和应用中都非常重要。
本章将介绍这两种构造的代数结构和范数结构，以及相关的投影定理。
定义 7.1（陪集与商空间）设$X$是线性空间，$M$是$X$的线性子空间。对$x \in X$，定义陪集（或等价类）：
$$[x] = x + M = \{x + m : m \in M\}$$
商集$X/M = \{[x] : x \in X\}$上定义运算：
则$X/M$成为线性空间，称为商空间。
注记：
例 7.1 设$X = \mathbb{R}^2$，$M = \{(x, 0) : x \in \mathbb{R}\}$（$x$轴）。则：
$$X/M = \{[(0, y)] : y \in \mathbb{R}\} \cong \mathbb{R}$$
每个陪集是平行于$x$轴的直线。
定理 7.1 若$\dim X = n$，$\dim M = k$，则$\dim(X/M) = n - k$。
定义 7.2（商范数）设$(X, \|\cdot\|)$是赋范空间，$M$是闭子空间。定义$X/M$上的商范数：
$$\|[x]\|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x - m\| = d(x, M)$$
即到子空间$M$的距离。
定理 7.2 $\|\cdot\|_{X/M}$是$X/M$上的范数。
证明：
(N1) $\|[x]\| \geq 0$。若$\|[x]\| = 0$，则存在$\{m_n\}$$\subseteq M$使得$\|x - m_n\| \to 0$。由于$M$闭，$x \in M$，故$[x] = [0]$。
(N2) 对$\alpha \neq 0$：
$$\|[\alpha x]\| = \inf_{m \in M} \|\alpha x - m\| = \inf_{m \in M} \|\alpha x - \alpha(\frac{m}{\alpha})\| = |\alpha| \inf_{m' \in M} \|x - m'\| = |\alpha| \|[x]\|$$
(N3)
$$\|[x] + [y]\| = \inf_{m \in M} \|x + y - m\| \leq \inf_{m_1, m_2 \in M} \|x + y - (m_1 + m_2)\|$$
$$\leq \inf_{m_1 \in M} \|x - m_1\| + \inf_{m_2 \in M} \|y - m_2\| = \|[x]\| + \|[y]\|$$
$\square$
定理 7.3 若$X$是Banach空间，$M$是闭子空间，则$X/M$是Banach空间。
证明：设$\{[x_n]\}$是$X/M$中的Cauchy列。取子列使得$\|[x_{n_{k+1}}] - [x_{n_k}]\| < 2^{-k}$。
归纳选取$y_k \in [x_{n_{k+1}} - x_{n_k}]$使得$\|y_k\| < 2^{-k}$。则$\sum_{k=1}^\infty \|y_k\| < \infty$。
由于$X$完备，$\sum_{k=1}^\infty y_k$收敛。设$x_{n_1} + \sum_{k=1}^\infty y_k = x$，则$[x_{n_k}] \to [x]$。$\square$
定义 7.3（商映射/典范映射）定义商映射$\pi: X \to X/M$为：
$$\pi(x) = [x]$$
定理 7.4 商映射$\pi$是线性满射，且：
(1) $\|\pi(x)\|_{X/M} \leq \|x\|$（$\pi$是压缩的，$\|\pi\| \leq 1$）；
(2) $\pi$将$X$的开单位球映为$X/M$的开单位球；
(3) $\|\pi\| = 1$（当$M \neq X$时）。
证明：
(1) $\|\pi(x)\| = \inf_{m \in M} \|x - m\| \leq \|x - 0\| = \|x\|$
(2) 设$\|[x]\|_{X/M} < 1$，则存在$m \in M$使得$\|x - m\| < 1$。故$[x] = \pi(x - m)$且$x - m \in B_X(0, 1)$。
反之，若$y \in B_X(0, 1)$，则$\|\pi(y)\| \leq \|y\| < 1$。$\square$
定义 7.4（积空间）设$X_1, \ldots, X_n$是线性空间。定义积空间（或直积）：
$$\prod_{i=1}^n X_i = X_1 \times \cdots \times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) : x_i \in X_i\}$$
运算按分量定义：
定义 7.5（积范数）设$(X_i, \|\cdot\|_i)$是赋范空间。在$X = \prod_{i=1}^n X_i$上可定义多种范数，常用的有：
(1) $p$-范数（$1 \leq p < \infty$）：
$$\|(x_1, \ldots, x_n)\|_p = \left(\sum_{i=1}^n \|x_i\|_i^p\right)^{1/p}$$
(2) 最大范数：
$$\|(x_1, \ldots, x_n)\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} \|x_i\|_i$$
定理 7.5 上述定义都是$X$上的范数，且当$1 \leq p \leq \infty$时互相等价。
定理 7.6 若每个$X_i$是Banach空间，则$\prod_{i=1}^n X_i$（赋予任一$p$-范数）是Banach空间。
定义 7.6（投影算子）设$X = M \oplus N$（代数直和，即每个$x \in X$唯一表示为$x = m + n$，$m \in M$，$n \in N$）。定义投影算子$P: X \to M$：
$$P(m + n) = m$$
定理 7.7 投影算子$P$是线性的、幂等的（$P^2 = P$），且：
(1) $R(P) = M$（值域）
(2) $N(P) = N$（零空间）
定理 7.8 设$M$是Banach空间$X$的闭子空间。则存在闭子空间$N$使得$X = M \oplus N$（拓扑直和）当且仅当投影$P: X \to M$是有界的。
定义 7.7（可补子空间）闭子空间$M$称为可补的，如果存在闭子空间$N$使得$X = M \oplus N$。
注记：
定理 7.9（距离可达性）设$X$是赋范空间，$M$是有限维子空间。则对任意$x \in X$，存在$m_0 \in M$使得：
$$\|x - m_0\| = \inf_{m \in M} \|x - m\| = d(x, M)$$
证明：设$d = d(x, M)$。取$\{m_n\}$$\subseteq M$使得$\|x - m_n\| \to d$。则$\{m_n\}$有界，故在有限维空间$M$中有收敛子列$m_{n_k} \to m_0$。由连续性，$\|x - m_0\| = d$。$\square$
注记：
习题 7.1 设$X = l^\infty$，$M = c_0$（收敛到0的序列空间）。证明$M$是闭子空间，并描述$X/M$。
习题 7.2 设$X = C[0,1]$，$M = \{f \in X : f(0) = 0\}$。证明$X/M \cong \mathbb{R}$（等距同构）。
习题 7.3 证明：商映射$\pi: X \to X/M$是开映射（将开集映为开集）。
习题 7.4 设$X = X_1 \times X_2$，证明：$X$可分当且仅当$X_1$和$X_2$都可分。
习题 7.5 证明：赋范空间$X$的每个有限维子空间都是可补的。
习题 7.6 设$P$是赋范空间$X$上的投影算子。证明$\|P\| \geq 1$（当$P \neq 0$）。
习题 7.7 设$M$是Hilbert空间$H$的闭子空间，$P$是正交投影。证明$\|P\| = 1$。
习题 7.8 证明：$l^p(1 \leq p < \infty)$等距同构于$l^p \times l^p$。
习题 7.9 设$M$是Banach空间$X$的闭子空间。证明：$X$可分当且仅当$M$和$X/M$都可分。
习题 7.10 设$X = M \oplus N$，$P$是到$M$沿$N$的投影。证明$\|P\| = \sup_{m+n\neq 0} \frac{\|m\|}{\|m+n\|}$。
本章介绍了赋范空间的两类重要构造：