Hilbert空间上的线性算子具有丰富的结构。与一般的Banach空间不同，Hilbert空间上的伴随算子概念使得我们可以定义自伴算子、酉算子、正规算子等重要类型。这些算子在量子力学、谱理论和微分方程中有着核心应用。
本章将介绍这些特殊算子的定义、性质和相互关系。
定理 12.1（Riesz表示定理回顾）设$H$是Hilbert空间，$f \in H^*$（连续线性泛函）。则存在唯一的$y \in H$使得：
$$f(x) = \langle x, y \rangle, \quad \forall x \in H$$
且$\|f\| = \|y\|$。
定义 12.1（伴随算子）设$H, K$是Hilbert空间，$T \in \mathcal{B}(H, K)$。定义$T$的伴随算子$T^*: K \to H$满足：
$$\langle Tx, y \rangle_K = \langle x, T^*y \rangle_H, \quad \forall x \in H, y \in K$$
存在性与唯一性：对固定$y \in K$，$x \mapsto \langle Tx, y \rangle$是$H$上的有界线性泛函。由Riesz表示定理，存在唯一$T^*y \in H$使得上式成立。
定理 12.2（伴随算子的基本性质）
(1) $T^* \in \mathcal{B}(K, H)$且$\|T^*\| = \|T\|$；
(2) $(\alpha S + \beta T)^* = \bar{\alpha} S^* + \bar{\beta} T^*$；
(3) $(ST)^* = T^*S^*$；
(4) $(T^*)^* = T$；
(5) 若$T$可逆，则$(T^*)^{-1} = (T^{-1})^*$。
证明：
(1) $\|T^*y\|^2 = \langle T^*y, T^*y \rangle = \langle TT^*y, y \rangle \leq \|TT^*y\|\|y\| \leq \|T\|\|T^*y\|\|y\|$
故$\|T^*y\| \leq \|T\|\|y\|$，$\|T^*\| \leq \|T\|$。由$(T^*)^* = T$，$\|T\| = \|(T^*)^*\| \leq \|T^*\|$。$\square$
例 12.1（矩阵的伴随）在$\mathbb{C}^n$上，若$T$对应矩阵$A$，则$T^*$对应$A^* = \bar{A}^T$（共轭转置）。
例 12.2（积分算子）设$(Tf)(x) = \int_a^b K(x,y)f(y)dy$，则：
$$(T^*g)(x) = \int_a^b \overline{K(y,x)}g(y)dy$$
定义 12.2（自伴算子）$T \in \mathcal{B}(H)$称为自伴（或Hermite）的，如果$T = T^*$，即：
$$\langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty \rangle, \quad \forall x, y \in H$$
定理 12.3（自伴算子的刻画）$T$自伴当且仅当$\langle Tx, x \rangle \in \mathbb{R}$对所有$x \in H$。
定理 12.4（自伴算子的范数）设$T$自伴。则：
$$\|T\| = \sup_{\|x\|=1}|\langle Tx, x \rangle|$$
证明：令$M = \sup_{\|x\|=1}|\langle Tx, x \rangle|$。显然$M \leq \|T\|$。
对$\|x\| = \|y\| = 1$：
$$\langle T(x+y), x+y \rangle - \langle T(x-y), x-y \rangle = 4\text{Re}\langle Tx, y \rangle$$
由平行四边形公式：
$$|\text{Re}\langle Tx, y \rangle| \leq \frac{M}{4}(\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2) = \frac{M}{2}(\|x\|^2 + \|y\|^2) = M$$
适当选取相位，$|\langle Tx, y \rangle| \leq M$。取上确界得$\|T\| \leq M$。$\square$
例 12.3 在$L^2[0,1]$上，$(Tf)(x) = xf(x)$是自伴算子。
定义 12.3（酉算子）$U \in \mathcal{B}(H, K)$称为酉算子，如果：
(1) $U$是满射；
(2) $\langle Ux, Uy \rangle_K = \langle x, y \rangle_H$对所有$x, y \in H$。
等价地，$U^*U = I_H$且$UU^* = I_K$。
定理 12.5（酉算子的性质）
(1) 酉算子是等距同构；
(2) $\|U\| = 1$（当$H \neq \{0\}$）；
(3) $U^{-1} = U^*$；
(4) 酉算子的复合是酉算子。
例 12.4（Fourier变换）$L^2(\mathbb{R}^n)$上的Fourier变换（适当规范化）是酉算子。
例 12.5（移位算子）$l^2(\mathbb{Z})$上的双边移位算子是酉算子：
$$(Ux)_n = x_{n-1}$$
定义 12.4（正规算子）$T \in \mathcal{B}(H)$称为正规算子，如果$T^*T = TT^*$。
定理 12.6（正规算子的刻画）以下条件等价：
(1) $T$正规；
(2) $\|Tx\| = \|T^*x\|$对所有$x$；
(3) $T = A + iB$，其中$A, B$自伴且$AB = BA$。
证明：$\|Tx\|^2 = \langle Tx, Tx \rangle = \langle T^*Tx, x \rangle$，$\|T^*x\|^2 = \langle TT^*x, x \rangle$。
$T^*T = TT^* \Leftrightarrow \langle T^*Tx, x \rangle = \langle TT^*x, x \rangle$对所有$x$$\Leftrightarrow$$\|Tx\| = \|T^*x\|$。$\square$
注记：
定理 12.7 $P \in \mathcal{B}(H)$是正交投影当且仅当$P$自伴且幂等（$P^2 = P$）。
证明：若$P$是正交投影，$R(P) = M$，$N(P) = M^\perp$。则：
$$\langle Px, y \rangle = \langle Px, Py + (I-P)y \rangle = \langle Px, Py \rangle = \langle Px + (I-P)x, Py \rangle = \langle x, Py \rangle$$
故$P^* = P$。$\square$
习题 12.1 证明：$\|T^*T\| = \|T\|^2$对所有$T \in \mathcal{B}(H)$。
习题 12.2 设$T$自伴。证明$\sigma(T) \subseteq \mathbb{R}$。
习题 12.3 证明：$U$酉当且仅当$U$是等距满射。
习题 12.4 设$\{P_n\}$是两两正交的正交投影（$P_nP_m = 0$，$n \neq m$）。证明$\sum_{n=1}^\infty P_n$（强收敛）是正交投影。
习题 12.5 设$T$正规。证明$\|T^2\| = \|T\|^2$。
习题 12.6 证明：自伴算子$T$是正的（$\langle Tx, x \rangle \geq 0$）当且仅当$\sigma(T) \subseteq [0, \infty)$。
习题 12.7 设$U$是酉算子。证明$\sigma(U) \subseteq \{z : |z| = 1\}$。
习题 12.8 证明极分解：任意$T \in \mathcal{B}(H)$可写为$T = U|T|$，其中$|T| = (T^*T)^{1/2}$，$U$是部分等距。
习题 12.9 设$T$自伴紧算子。证明$T$有特征向量构成的规范正交基。
习题 12.10 证明：Hilbert空间$H$与$K$酉等价当且仅当$\dim H = \dim K$。
本章介绍了Hilbert空间上几类重要的算子：