定义函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处是连续的，必须同时满足以下三个条件（缺一不可）：

1. 1. 函数有定义：$f(a)$ 必须存在（是有意义的实数）。
2. 2. 极限存在：$\lim_{x \to a} f(x)$ 必须存在。这意味着左极限等于右极限：
   • $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$
3. 3. 极限值等于函数值：$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

再用旧的表述，即为：1）函数在a有定义 2）当自变量变化无穷小时有定义，且自变量变化一个无穷小量$dx$时，因变量也变化一个无穷小量$dy$。只有无穷小的变化，故称为连续。

总结：如果不满足上述任何一条，该点即为间断点。

间断点主要分为两类，区分的关键在于左右极限是否存在。

特征：左右极限都存在。

此类间断点又细分为两种情况：

• 可去间断点 (Removable Discontinuity)
  • 定义：极限 $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，但不等于 $f(a)$，或者 $f(a)$ 未定义。
  • 特点：图像上看起来像是一条连续的线上被“挖”掉了一个点。
  • 数学表达：$\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

• 跳跃间断点 (Jump Discontinuity)
  • 定义：左极限和右极限都存在，但是不相等。
  • 特点：图像在该点发生了“断层”或“台阶”式的跳跃。
  • 数学表达：$\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

特征：左右极限中至少有一个不存在。

常见的两种情况：

• 无穷间断点 (Infinite Discontinuity)
  • 定义：函数在该点趋向于无穷大。
  • 数学表达：$\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$
  • 例子：$f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处。

• 振荡间断点 (Oscillating Discontinuity)
  • 定义：函数在该点附近无限次剧烈震荡，导致极限无法确定。
  • 数学表达：极限不存在且非无穷。
  • 例子：$f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ 当 $x \to 0$ 时。

对于第一类间断点中的“可去间断点”，我们可以通过数学手段将其“修复”为连续点。

修复方法： 重新定义（或补充定义）函数在 $x=a$ 处的值，使其等于该点的极限值。

公式： $$ \text{令 } f(a) = \lim_{x \to a} f(x) $$

通过这种操作，原本的空心点被填补，函数在该点瞬间变为连续。

这是连续性的严格数学定义，由柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯引入，用于通过逻辑量词严谨地描述“无限接近”的概念。

定义： 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 $\epsilon$（无论它多么小），总存在一个正数 $\delta$，使得对于所有满足 $|x - x_0| < \delta$ 的 $x$，都有： $$ |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $$ 则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

逻辑符号表示： $$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{ s.t. } \forall x (|x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon) $$

直观理解：
* $\epsilon$ 代表对函数值误差的容忍度（目标）。
* $\delta$ 代表为了满足这个误差，自变量 $x$ 必须控制的范围（手段）。
* 连续意味着：只要你给出一个误差标准 $\epsilon$，我总能找到一个足够小的范围 $\delta$，使得在这个范围内，函数值与目标值的偏差都在允许范围内。

绝对连续是比一致连续更强的概念，主要用于实变函数论和微积分基本定理的推广。

定义： 设函数 $f(x)$ 定义在区间 $I$ 上。如果对于任意给定的 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对于 $I$ 中任意有限个互不相交的开区间 $(a_1, b_1), (a_2, b_2), \dots, (a_n, b_n)$，只要这些区间的总长度小于 $\delta$（即 $\sum_{i=1}^n (b_i - a_i) < \delta$），就有函数值变差的总和小于 $\epsilon$： $$ \sum_{i=1}^n |f(b_i) - f(a_i)| < \epsilon $$ 则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是绝对连续的。

重要性质：

• 包含关系：绝对连续 $\implies$ 一致连续 $\implies$ 连续。
• 微积分基本定理：如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上绝对连续，则 $f(x)$ 几乎处处可导，且 $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) dt$。

除了上述定义，数学分析中还有以下几种描述连续的重要方式：

这是基于数列极限的定义，常用于证明或判断不连续。

定义： 函数 $f(x)$ 在点 $x = a$ 处连续，当且仅当对于任何收敛于 $a$ 的数列 $\{x_n\}$（即 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$），其对应的函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 也收敛于 $f(a)$。

公式： $$ \lim_{n \to \infty} x_n = a \implies \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a) $$

这是定义在区间上的概念，比逐点连续更强。

定义： 设 $f(x)$ 定义在区间 $I$ 上。如果对于任意 $\epsilon > 0$，存在一个只依赖于 $\epsilon$ 而与点 $x$ 无关的 $\delta > 0$，使得对于区间内任意两点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon$。

与普通连续的区别：

• 普通连续：$\delta$ 依赖于 $\epsilon$ 和 具体的位置 $x_0$。即 $\delta = \delta(\epsilon, x_0)$。
• 一致连续：$\delta$ 仅依赖于 $\epsilon$，对区间内所有点通用。即 $\delta = \delta(\epsilon)$。

康托尔定理 (Cantor's Theorem)：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则它在该区间上一定是一致连续的。

这是一种更强的连续性形式，控制了函数变化的“速度”。

定义： 如果存在一个常数 $K \ge 0$（称为利普希茨常数），使得对于区间内任意 $x_1, x_2$，都有： $$ |f(x_1) - f(x_2)| \le K |x_1 - x_2| $$ 则称 $f(x)$ 是利普希茨连续的。

关系链： 可导且导数有界 $\implies$ 利普希茨连续 $\implies$ 一致连续 $\implies$ 连续。