定义 2.1（点连续） 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。如果 $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ 则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
用 ε-δ 语言表述：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。
等价表述： $$\lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$$ 或记 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，则 $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$。
定义 2.2
定理 2.1 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当 $f(x)$ 在 $x_0$ 处既左连续又右连续。
例 2.1 讨论函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处的连续性。
解：
故 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续。
定义 2.3
所有在 $[a, b]$ 上连续的函数组成的集合记为 $C[a, b]$。
若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。
函数在 $x_0$ 处不连续，至少满足以下条件之一：
1. $f(x_0)$ 无定义
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$
第一类间断点（可去或跳跃）： 左右极限都存在。
第二类间断点： 左右极限至少有一个不存在。
例 2.2 判断下列函数的间断点类型：
(a) $f(x) = \frac{\sin x}{x}$，$x \neq 0$，补充定义 $f(0) = ?$
解： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，若定义 $f(0) \neq 1$，则 $x = 0$ 是可去间断点；若定义 $f(0) = 1$，则函数连续。
(b) $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \geq 0 \\ x - 1, & x < 0 \end{cases}$
解： $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$，$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$，跳跃度为 2，$x = 0$ 是跳跃间断点。
© $f(x) = \frac{1}{x}$
解： $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$，$x = 0$ 是无穷间断点。
(d) $f(x) = \sin\frac{1}{x}$
解： 当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x} \to \infty$，函数在 -1 和 1 之间无限振荡，$x = 0$ 是振荡间断点。
定理 2.2（局部有界性） 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则存在 $\delta > 0$，使得 $f(x)$ 在 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 内有界。
定理 2.3（局部保号性） 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续且 $f(x_0) > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 时 $f(x) > 0$。
定理 2.4 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则：
1. $f(x) \pm g(x)$ 在 $x_0$ 处连续
2. $f(x) \cdot g(x)$ 在 $x_0$ 处连续
3. $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 处连续（要求 $g(x_0) \neq 0$）
推论： 多项式函数、有理函数在其定义域内连续。
定理 2.5 若 $u = g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$y = f(u)$ 在 $u_0 = g(x_0)$ 处连续，则复合函数 $y = f(g(x))$ 在 $x_0$ 处连续。
即：$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to x_0} g(x)) = f(g(x_0))$
例 2.3 证明 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。
证明： $u = x^2$ 和 $y = \sin u$ 都在 $\mathbb{R}$ 上连续，故复合函数 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。
定理 2.6 若函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调且连续，则其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 在对应区间上也严格单调且连续。
例 2.4 基本初等函数的连续性：
结论： 所有初等函数在其定义域内连续。
定理 2.7（有界性定理） 若 $f(x) \in C[a, b]$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，即存在 $M > 0$，使得 $|f(x)| \leq M$ 对所有 $x \in [a, b]$ 成立。
注： 开区间上的连续函数不一定有界，如 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上连续但无界。
定理 2.8（最值定理） 若 $f(x) \in C[a, b]$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必能取到最大值和最小值，即存在 $\xi, \eta \in [a, b]$，使得： $$f(\xi) = \min_{x \in [a, b]} f(x), \quad f(\eta) = \max_{x \in [a, b]} f(x)$$
定理 2.9（介值定理） 若 $f(x) \in C[a, b]$，$m$ 和 $M$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值和最大值，则对任意 $c \in [m, M]$，存在 $\xi \in [a, b]$ 使得 $f(\xi) = c$。
推论（零点定理）： 若 $f(x) \in C[a, b]$ 且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi) = 0$。
例 2.5 证明方程 $x^3 - 4x^2 + 1 = 0$ 在 $(0, 1)$ 内至少有一个根。
证明： 设 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$，则 $f(x) \in C[0, 1]$。
$f(0) = 1 > 0$，$f(1) = 1 - 4 + 1 = -2 < 0$。
由零点定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得 $f(\xi) = 0$。
例 2.6 设 $f(x) \in C[0, 1]$，$f(0) = f(1)$。证明存在 $\xi \in [0, \frac{1}{2}]$ 使得 $f(\xi) = f(\xi + \frac{1}{2})$。
证明： 设 $g(x) = f(x) - f(x + \frac{1}{2})$，$x \in [0, \frac{1}{2}]$。
则 $g(0) = f(0) - f(\frac{1}{2})$，$g(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) - f(1) = f(\frac{1}{2}) - f(0) = -g(0)$。
若 $g(0) = 0$，则 $\xi = 0$ 即为所求。
若 $g(0) \neq 0$，则 $g(0) \cdot g(\frac{1}{2}) = -[g(0)]^2 < 0$，由零点定理，存在 $\xi \in (0, \frac{1}{2})$ 使得 $g(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = f(\xi + \frac{1}{2})$。
定义 2.4（一致连续） 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。如果对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$（仅依赖于 $\varepsilon$，与 $x$ 无关），使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续。
注：
例 2.7 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上连续但不一致连续。
证明： 取 $\varepsilon_0 = 1$，对任意 $\delta > 0$，取 $n > \frac{1}{\delta}$，令 $x_1 = \frac{1}{n}$，$x_2 = \frac{1}{n+1}$。
则 $|x_1 - x_2| = \frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{n} < \delta$，但： $$|f(x_1) - f(x_2)| = |n - (n+1)| = 1 = \varepsilon_0$$
故 $f(x)$ 在 $(0, 1)$ 上不一致连续。
定理 2.10（康托尔定理） 若 $f(x) \in C[a, b]$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。
证明思路： 用有限覆盖定理。反设不一致连续，可构造两个数列使函数值差大于某固定正数，但由连续性及致密性定理导出矛盾。
例 2.8 $f(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
证明： 由拉格朗日中值定理： $$|\sin x_1 - \sin x_2| = |\cos \xi| \cdot |x_1 - x_2| \leq |x_1 - x_2|$$
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时： $$|\sin x_1 - \sin x_2| \leq |x_1 - x_2| < \varepsilon$$
有限覆盖定理（Heine-Borel）
闭区间 $[a,b]$ 的任意开覆盖都存在有限子覆盖：
若 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 为开集族，$[a,b]\subseteq\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha$，则存在 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 使得： $$[a,b]\subseteq\bigcup_{i=1}^n U_{\alpha_i}$$
证明概要（反证法+二分法）：
假设存在无有限子覆盖的开覆盖 $\mathcal{U}$。反复二分 $[a,b]$，得闭区间套： $$[a,b]\supset[a_1,b_1]\supset\cdots\supset[a_n,b_n]\supset\cdots,\quad b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\to 0$$
由闭区间套定理，$\exists!\xi\in\bigcap[a_n,b_n]$。取含 $\xi$ 的开集 $U_{\alpha_0}\in\mathcal{U}$，则当 $n$ 充分大时 $[a_n,b_n]\subset U_{\alpha_0}$，矛盾。
康托尔定理：$f\in C[a,b]\Rightarrow f$ 一致连续。
证：$\forall\varepsilon>0$，由连续性，每点 $x$ 有邻域 $U_x$ 使振幅 $<\varepsilon$。$\{U_x\}$ 为开覆盖，取有限子覆盖 $\{U_{x_i}\}_{i=1}^n$，令 $\delta=\min\{\delta_i\}$ 即可。
例题 2.1 求 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ 的间断点并分类。
解： $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2}$（$x \neq 1$）
例题 2.2 设 $f(x) \in C[a, b]$，$x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a, b]$。证明存在 $\xi \in [a, b]$ 使得： $$f(\xi) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$$
证明： 设 $m = \min_{x \in [a, b]} f(x)$，$M = \max_{x \in [a, b]} f(x)$。
则 $m \leq f(x_i) \leq M$，故： $$m \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i) \leq M$$
由介值定理，存在 $\xi \in [a, b]$ 使得等式成立。
例题 2.3 证明：若 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$ 存在，则 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上有界。
证明：
基础题 1. 讨论下列函数在指定点的连续性：
(a) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处
(b) $f(x) = x\sin\frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处（补充定义 $f(0) = 0$）
2. 求下列函数的间断点并分类：
(a) $f(x) = \frac{1}{1 - e^{\frac{x}{1-x}}}$
(b) $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n} - 1}{x^{2n} + 1}$
提高题
3. 设 $f(x) \in C[0, 2]$，$f(0) = f(2)$。证明存在 $\xi \in [0, 1]$ 使得 $f(\xi) = f(\xi + 1)$。
4. 证明：奇数次多项式方程至少有一个实根。
挑战题
5. 设 $f(x) \in C[a, b]$，$E = \{x \in [a, b] : f(x) = x\}$。证明 $E$ 是闭集。
6. 证明：$f(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续，但在任何有界区间上一致连续。