设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：
则： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$
第一步：补充定义
由于 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$，补充定义： $$f(a) = 0, \quad g(a) = 0$$
则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x = a$ 处连续。
第二步：对任意 $x \neq a$ 应用柯西中值定理
不妨设 $x > a$（$x < a$ 情形类似），在区间 $[a, x]$ 上：
根据柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, x)$，使得： $$\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$
由 $f(a) = g(a) = 0$，化简得： $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$
第三步：取极限
当 $x \to a^+$ 时，由于 $a < \xi < x$，由夹逼准则得 $\xi \to a^+$。
因此： $$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \lim_{\xi \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = L$$
同理可证 $x \to a^-$ 情形，故： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L$$
证毕。
| 错误类型 | 示例 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 未验证不定式 | $\lim_{x\to 0} \frac{x+1}{x+2} = \frac{1}{2}$ 直接用洛必达得 $\frac{1}{1}$（碰巧对但不合法） | 先确认是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ |
| 导数之比极限不存在 | $\lim_{x\to\infty} \frac{x+\sin x}{x}$，导数之比 $1+\cos x$ 振荡 | 洛必达法则失效，改用夹逼：$= 1$ |
| 循环求导 | $\lim_{x\to\infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ 反复洛必达循环 | 分子分母同除 $e^x$ 得 $1$ |
| 忘记其他方法 | $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$ 洛必达需三次求导 | 泰勒展开：$\frac{x-(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))}{x^3} = \frac{1}{6}$ 更快 |