设函数 $f(x)$ 在包含点 $a$ 的某个开区间内具有直到 $n+1$ 阶的导数，则对该区间内任意一点 $x$，有：
$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$
其中：
| 余项名称 | 表达式 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 佩亚诺余项 | $R_n(x) = o((x-a)^n)$ | 求极限、定性分析 |
| 拉格朗日余项 | $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ | 误差估计、证明题 |
| 柯西余项 | $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a)$ | 级数收敛性讨论 |
| 积分余项 | $R_n(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt$ | 精确计算、推导其他余项 |
| 施勒米尔希-罗什余项 | $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(a+\theta(x-a))}{p!n!}(1-\theta)^{n+1-p}(x-a)^{n+1}$ | 统一形式（p为参数） |
证明：若 $f(x)$ 在含 $a$ 的某区间内 $n+1$ 阶可导，则存在 $\xi$ 介于 $a$ 与 $x$ 之间，使得：
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
关键洞察：$n+1$ 阶导数出现在拉格朗日余项中不是偶然，而是必然——它用来量化高阶变化带来的误差。
第一步：构造 $F(t)$
固定 $x$，令 $t$ 为变量，定义：
$$F(t) = f(x) - \left[f(t) + f'(t)(x-t) + \frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n\right]$$
观察 $F(t)$ 的边界值：
第二步：构造 $G(t)$
$$G(t) = (x-t)^{n+1}$$
选择理由：$(x-t)^{n+1}$ 的导数为 $-(n+1)(x-t)^n$，与分母 $(n+1)!$ 及 $f^{(n+1)}(t)$ 的阶数完美对应。
对 $F(t)$ 和 $G(t)$ 在区间 $[a, x]$ 上应用柯西中值定理：
$$\frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \frac{F'(\xi_1)}{G'(\xi_1)}$$
其中 $\xi_1$ 介于 $a$ 与 $x$ 之间。
计算边界值：
所以左边为：
$$\frac{0 - R_n(x)}{0 - (x-a)^{n+1}} = \frac{R_n(x)}{(x-a)^{n+1}}$$
计算导数：
对 $F(t)$ 求导（逐项求导后大量项会抵消）：
$$F'(t) = -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n$$
对 $G(t)$ 求导：
$$G'(t) = -(n+1)(x-t)^n$$
所以右边为：
$$\frac{F'(\xi_1)}{G'(\xi_1)} = \frac{-\frac{f^{(n+1)}(\xi_1)}{n!}(x-\xi_1)^n}{-(n+1)(x-\xi_1)^n} = \frac{f^{(n+1)}(\xi_1)}{(n+1)!}$$
联立左右两边：
$$\frac{R_n(x)}{(x-a)^{n+1}} = \frac{f^{(n+1)}(\xi_1)}{(n+1)!}$$
整理得：
$$\boxed{R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}$$
其中 $\xi = \xi_1$ 介于 $a$ 与 $x$ 之间。证毕。
$$f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) dt$$
对积分项反复使用分部积分法：
$$\int_a^x f'(t) dt = f'(a)(x-a) + \int_a^x f''(t)(x-t) dt$$
$$\int_a^x f''(t)(x-t) dt = \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \int_a^x f'''(t)\frac{(x-t)^2}{2!} dt$$
重复 $n$ 次后得到：
$$\boxed{R_n(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt}$$
由于 $(x-t)^n$ 在 $[a, x]$ 上不变号，应用积分第一中值定理：
存在 $\xi \in (a, x)$，使得：
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}\int_a^x (x-t)^n dt = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
应用积分中值定理的另一种形式：
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a)$$
当 $a = 0$ 时，泰勒公式称为麦克劳林公式（Maclaurin Series）
| 函数 | 麦克劳林展开式 | 收敛域 |
|---|---|---|
| $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + R_{2n+1}(x)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + R_{2n}(x)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + R_n(x)$ | $(-1, 1]$ |
| $(1+x)^\alpha$ | $1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + C_\alpha^n x^n + R_n(x)$ | 视 $\alpha$ 而定 |
| $\arctan x$ | $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + R_{2n+1}(x)$ | $[-1, 1]$ |
例题：求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$
解：将 $e^x$ 展开到二阶：
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + o(x^2)$$
代入：
$$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)) - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2}$$
例题：用 $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$ 近似计算 $e^{0.1}$，估计误差。
解：
$$R_2(x) = \frac{e^\xi}{3!}x^3, \quad \xi \in (0, 0.1)$$
$$|R_2(0.1)| \leq \frac{e^{0.1}}{6} \times 0.001 < \frac{1.2}{6} \times 0.001 = 0.0002$$
例题：证明当 $x > 0$ 时，$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$
解：由拉格朗日余项：
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{e^\xi}{6}x^3, \quad \xi \in (0, x)$$
因为 $e^\xi > 0$ 且 $x > 0$，所以 $\frac{e^\xi}{6}x^3 > 0$，故 $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$。
例题：证明 $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$ 在 $x \in (-1, 1]$ 上成立。
解：对拉格朗日余项 $R_n(x) = \frac{(-1)^n}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}}x^{n+1}$，当 $n \to \infty$ 时：
| 特性 | 佩亚诺余项 | 拉格朗日余项 | 积分余项 |
|---|---|---|---|
| 条件要求 | $n$ 阶可导 | $n+1$ 阶可导 | $n+1$ 阶连续可导 |
| 余项精度 | 定性（高阶无穷小） | 定量（精确表达式） | 精确积分形式 |
| 主要用途 | 求极限 | 误差估计、证明 | 推导其他余项 |
| $\xi$ 位置 | 无 | $(a, x)$ 内某点 | 积分变量 $t$ |
| 典型场景 | $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ | $|R_n| < \epsilon$ | 统一推导框架 |
纠正：只要 $f^{(n+1)}$ 存在且余项趋于零，可以在整个收敛域内使用。
纠正：对于某些函数（如 $e^{-1/x^2}$ 在 $x=0$ 处），所有阶导数为零，泰勒展开失效。
纠正：虽然都正确，但柯西余项在讨论 $(1+x)^\alpha$ 的收敛性时更方便。
泰勒公式的本质：用多项式逼近任意光滑函数，并精确控制误差。