弹性力学：能量法 (Energy Methods)

能量法是弹性力学中一种非常强大的求解方法。与直接求解微分方程（如平衡方程、几何方程、物理方程）不同，能量法通过研究物体变形过程中储存的能量（应变能）与外力做功之间的关系，将复杂的微分方程问题转化为积分问题或代数方程组求解，特别适合处理复杂边界条件和数值计算（如有限元法）。

在弹性变形过程中，外力对物体做功，这部分功转化为物体内部储存的能量，称为应变能（Strain Energy）。

考虑一个受拉伸的杆件，其应力-应变关系遵循胡克定律。

• 单位体积应变能 (应变能密度) $U_0$:

$$ U_0 = \int_0^{\epsilon_x} \sigma_x \text{d}\epsilon_x = \frac{1}{2} E \epsilon_x^2 = \frac{1}{2} \sigma_x \epsilon_x $$

• 物理意义: 在应力-应变 ($\sigma - \epsilon$) 曲线下方的面积。
• 系数 1/2 的来源: 只有在线弹性（Linear Elastic）材料中，力与变形成正比，做功过程是一个三角形面积，因此有 1/2。如果是塑性或非线性材料，这个系数就不一定是 1/2。

• 微元体总功:

$$ W = \int_0^{\epsilon_x} \sigma_x \left( \frac{\partial u}{\partial x} \text{d}x \right) \text{d}y\text{d}z = \int_0^{\epsilon_x} \sigma_x \text{d}\epsilon_x \text{d}V $$

对于三维受力状态，总应变能 $U$ 是应变能密度 $U_0$ 在整个体积 $V$ 上的积分： $$ U = \iiint_V U_0 \text{d}x\text{d}y\text{d}z $$

其中，应变能密度 $U_0$ 可以写为所有应力分量与对应应变分量乘积之和的一半： $$ U_0 = \frac{1}{2} (\sigma_x \epsilon_x + \sigma_y \epsilon_y + \sigma_z \epsilon_z + \tau_{xy} \gamma_{xy} + \tau_{yz} \gamma_{yz} + \tau_{zx} \gamma_{zx}) $$

或者使用爱因斯坦求和约定（张量形式）： $$ U_0 = \frac{1}{2} \sigma_{ij} \epsilon_{ij} $$

引入广义胡克定律后，可以分别用应力或应变表示：

• 用应力表示:

$$ U_0 = \frac{1}{2E} (\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2) - \frac{\nu}{E} (\sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_z + \sigma_z \sigma_x) + \frac{1}{2G} (\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2) $$

• 用应变表示 (引入拉梅常数 $\lambda$ 和 $G$):

$$ U_0 = \frac{1}{2} [\lambda e^2 + 2G (\epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2) + G (\gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2)] $$

• (注: $e$ 为体应变 $e = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z$)*

重要性质: 由公式可见，对于稳定的弹性材料，$U_0$ 恒为正值（正定性）。

应变能函数 $U_0$ 是一个势函数。

• 对应变求偏导，得到对应的应力：

$$ \frac{\partial U_0(\epsilon_{ij})}{\partial \epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} $$

• 对应力求偏导，得到对应的应变：

$$ \frac{\partial U_0(\sigma_{ij})}{\partial \sigma_{ij}} = \epsilon_{ij} $$

这表明弹性变形能又称为弹性势。

这是能量法的核心基石。

定义: 在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给予物体一个微小虚位移时，外力所做的总虚功 ($\delta W$) 等于物体内部储存的总虚应变能 ($\delta U$)。

$$ \delta W = \delta U $$

• 什么是虚位移 ($\delta u, \delta v, \delta w$)？
  • 它是假想的、微小的位移。
  • 它必须满足几何约束条件（即在几何边界 $S_u$ 上，$\delta u = 0$）。
  • 它与时间无关，不涉及真实的运动过程。
  • 理解: 假定弹性体在虚位移过程中没有温度改变和速度改变（无热能或动能变化），根据能量守恒，外力做的功全部转化为形变势能。

数学表达式:

• 虚应变能: $\delta U = \iiint_V \sigma_{ij} \delta \epsilon_{ij} \text{d}V$
• 外力虚功: $\delta W = \iiint_V F_{bi} \delta u_i \text{d}V + \iint_{S_\sigma} p_i \delta u_i \text{d}S$
  • 第一项是体力 ($F_b$) 做功。
  • 第二项是面力 ($p$) 在应力边界 $S_\sigma$ 上做功。

等价性证明: 虚位移原理实际上等价于平衡方程加上应力边界条件。 $$ \int_V (\sigma_{ij,j} + F_{bi}) \delta u_i \text{d}V + \int_S (p_i - \sigma_{ij} n_j) \delta u_i \text{d}S = 0 $$ 如果满足虚位移原理（上式为0），且 $\delta u_i$ 是任意的，那么括号内的项必须为0，即推出了平衡方程 $\sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0$ 和边界条件 $p_i = \sigma_{ij} n_j$。

从虚位移原理可以推导出最小势能原理。

总势能 ($\Pi_p$ 或 $E_t$) 定义: $$ \Pi_p = U - W = \iiint_V U_0(\epsilon_{ij}) \text{d}V - \left( \iiint_V F_{bi} u_i \text{d}V + \iint_{S_\sigma} p_i u_i \text{d}S \right) $$

(注：这里 $W$ 视为外力势能的减少)

原理表述: 在所有满足几何边界条件 ($u_i = \bar{u}_i$ on $S_u$) 和变形协调条件的许可位移场中，真实位移场使系统的总势能取驻值（通常是极小值）。

$$ \delta \Pi_p = \delta (U - W) = 0 $$

• 这是一个变分问题。
• 它将求解微分方程的问题转化为了寻找泛函极值的问题。

瑞利-里兹法是利用最小势能原理进行近似求解的一种直接方法。

求解步骤:

1. 1. 假设位移函数:

选取一组包含待定系数 ($a_k, b_k, c_k$) 的函数来近似真实的位移场。

$$ u(x) \approx u_0 + \sum_{k=1}^n a_k u_k(x) $$

$$ v(x) \approx v_0 + \sum_{k=1}^n b_k v_k(x) $$

关键点: 选取的位移函数必须满足位移边界条件 (几何边界条件)。不必满足力的边界条件，也不必满足平衡方程。

1. 2. 表达总势能:

利用几何方程（求应变）和物理方程（求应力/应变能），将总势能 $\Pi_p$ 表示为这些待定系数的函数：

$$ \Pi_p = f(a_1, ..., a_n, b_1, ..., b_n, ...) $$

1. 3. 求解极值:

根据最小势能原理，总势能取极小值，因此对每一个待定系数求偏导并令其为 0：

$$ \frac{\partial \Pi_p}{\partial a_k} = 0, \quad \frac{\partial \Pi_p}{\partial b_k} = 0, \quad ... $$

1. 4. 解代数方程组:

上述步骤会得到一个关于系数的线性代数方程组。解出系数后，回代到位移函数中，即可得到近似解。

与虚位移原理和最小势能原理相对偶（Dual）的概念。

又称虚余功原理。 * 定义: 当物体处于变形协调状态时，微小虚外力在真实位移上所做的总虚功 ($\delta W'$，余功)，等于虚应力在真实应变上所完成的总虚应变余能 ($\delta U'$)。 * 条件: 虚应力场必须满足平衡方程和力的边界条件。

• 总余能 ($\Pi_c$):

$$ \Pi_c = U^* - W^* = \iiint_V U_0^*(\sigma_{ij}) \text{d}V - \iint_{S_u} \bar{u}_i p_i \text{d}S $$

*(其中 $U_0^*$ 是余应变能密度)*

• 原理表述: 在所有满足平衡方程和力边界条件的许可应力场中，真实应力场使系统的总余能取极小值。

$$ \delta \Pi_c = 0 $$

对比总结:

• 最小势能原理: 找位移 $u$，需满足几何协调，目标是总势能最小。
• 最小余能原理: 找应力 $\sigma$，需满足静力平衡，目标是总余能最小。

伽辽金法是一种加权余量法 (Weighted Residual Method)，它比瑞利-里兹法应用范围更广，不仅用于弹性力学，也广泛用于流体力学等。

核心思想: 如果一个近似解 $u$ 不能精确满足微分方程（例如平衡方程），那么代入方程后会产生一个残差 (Residual, $R$)。伽辽金法要求这个残差在求解域上的加权积分为 0。

$$ \int_V R \cdot W_i \text{d}V = 0 $$

在弹性力学中，利用虚位移原理的弱形式： $$ \int_V (\sigma_{ij,j} + F_{bi}) \delta u_i \text{d}V = 0 $$ 这里的 $\delta u_i$ 就相当于权函数。

步骤: 1. 假设位移函数 $u_i \approx \sum a_k \phi_k(x)$。

2. 这里的试函数 $\phi_k$ 既要满足位移边界条件，最好也能满足应力边界条件（虽然不是强制，但能提高精度）。

3. 将假设代入平衡方程，得到残差。

4. 令残差与试函数正交（即积分为0），建立方程组求解 $a_k$。

为了深入理解能量法，需要数学上的变分法基础。

• 泛函 (Functional): 简单的说，就是“函数的函数”。
  • 普通函数: $y = f(x)$ (输入一个数，输出一个数)。
  • 泛函: $J = J[y(x)]$ (输入一个函数曲线，输出一个数值)。
  • 例子: 最速降线问题中，时间 $T$ 是路径曲线 $y(x)$ 的泛函。
• 变分 ($\delta$):
  • 函数的微分 $dy$: 自变量 $x$ 变化微小量 $dx$ 引起的函数值变化。
  • 泛函的变分 $\delta J$: 函数形式 $y(x)$ 发生微小改变 $\delta y$ (虚位移) 引起的泛函值变化。
• 极值条件:
  • 函数极值: $dy/dx = 0$。
  • 泛函极值: $\delta J = 0$ (这就是为什么最小势能原理写成 $\delta \Pi_p = 0$)。

固体结构数值计算方法的发展脉络：

• 瑞利-里兹法 直接基于 最小势能原理 (泛函)。
• 伽辽金法 基于 加权余量法，但在弹性力学自伴随算子的情况下，它与瑞利-里兹法是等价的。
• 有限元法 (FEM) 本质上就是分段定义插值函数的瑞利-里兹法或伽辽金法。它将复杂的全域函数简化为简单的单元形状函数（如线性、二次多项式），从而极大地简化了计算。