弹性力学：应变与几何方程

本页面主要阐述弹性力学中关于物体变形的描述，包括位移、应变的概念、几何方程、变形协调方程以及主应变理论。

在弹性力学中，物体的变形通过空间中点的位移 (Displacement) 来描述。 假设空间中一点 $P(x, y, z)$ 变形后移动到 $P'(x', y', z')$，其位移分量定义为：

• $x$ 方向位移：$u = u(x, y, z)$
• $y$ 方向位移：$v = v(x, y, z)$
• $z$ 方向位移：$w = w(x, y, z)$

小变形假设 (Small Deformation Theory)： 在工程弹性力学中，通常假设变形极其微小，即位移的导数（变形梯度）远小于1。这允许我们忽略高阶微量，线性化几何方程。

应变用于描述变形的剧烈程度（相对变形）。

几何方程建立了位移与应变之间的微分关系。

• 正应变：

$$ \varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x} $$ $$ \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y} $$

• 切应变（工程切应变）：

$$ \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} $$

在三维空间中，共有6个应变分量：

$$ \begin{cases} \varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \varepsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z} \\ \gamma_{yz} = \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \\ \gamma_{xz} = \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \\ \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \end{cases} $$

为了便于数学处理（如坐标变换），引入张量记法。

注意： 张量剪应变 ($\varepsilon_{ij}$) 与工程剪应变 ($\gamma_{ij}$) 存在系数 $\frac{1}{2}$ 的差异。

$$ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j,i}) $$

即： $$ \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2} \gamma_{xy}, \quad \varepsilon_{yz} = \frac{1}{2} \gamma_{yz}, \quad \varepsilon_{zx} = \frac{1}{2} \gamma_{zx} $$

应变张量矩阵表示如下：

$$ \varepsilon_{ij} = \begin{bmatrix} \varepsilon_x & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_y & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_x & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_{xz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \varepsilon_y & \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{zx} & \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \varepsilon_z \end{bmatrix} $$

易错点提示： 在使用张量运算公式（如主应变计算、坐标变换）时，切应力项必须使用 $\frac{1}{2}\gamma$；而在物理概念和胡克定律的某些形式中，常直接使用 $\gamma$。

背景： 我们有3个位移分量 ($u, v, w$)，却导出了6个应变分量。这说明6个应变分量不是独立的。为了保证变形后的物体仍然是连续的（没有撕裂或重叠），应变分量必须满足一定的约束条件，即圣维南 (Saint-Venant) 变形协调方程。

方程组 (6个)：

1. 涉及正应变与切应变的二阶导数关系： $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} $$ $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} $$ $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} $$

2. 涉及混合导数关系： $$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} (-\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$ $$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$ $$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$

变形协调方程（Compatibility Equations）是弹性力学中保证位移单值连续性的重要方程。以下是利用几何方程消去位移分量，从而导出应变协调方程的详细证明过程。

证明的起点是柯西几何方程（应变-位移关系）。我们需要利用微分运算，从这 3 个位移分量定义的 6 个应变分量中，消去位移 $u, v, w$。

正应变定义： $$ \varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \varepsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z} $$

工程切应变定义： $$ \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \gamma_{yz} = \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}, \quad \gamma_{zx} = \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} $$

关键数学性质： 证明过程中利用了混合偏导数与求导顺序无关的性质（假设位移函数连续且二阶可导），即： $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $$

这组方程主要联系平面内的正应变与切应变。我们以 $xOy$ 平面为例进行推导。

1. 对 $\varepsilon_x$ 关于 $y$ 求两次偏导：

$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} = \frac{\partial^2}{\partial y^2} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y^2} \quad \dots (1) $$

2. 对 $\varepsilon_y$ 关于 $x$ 求两次偏导：

$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{\partial v}{\partial y} \right) = \frac{\partial^3 v}{\partial y \partial x^2} \quad \dots (2) $$

3. 对 $\gamma_{xy}$ 关于 $x$ 和 $y$ 各求一次偏导：

$$ \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial^3 v}{\partial y \partial x^2} + \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y^2} \quad \dots (3) $$

4. 联立方程：

观察 (1)、(2)、(3) 式右端，显然有 (1) + (2) = (3)。

即得第一个协调方程： $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} $$

利用轮换下标法（$x \to y \to z \to x$），可直接写出另外两个方程： $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} $$

$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} $$

这组方程联系一个正应变和三个切应变。我们以 $\varepsilon_x$ 为例进行推导。

首先，对 $\varepsilon_x$ 关于 $y$ 和 $z$ 求混合偏导，并乘以 2（为了凑系数）： $$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = 2 \frac{\partial^2}{\partial y \partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} \quad \dots (4) $$

我们需要寻找切应变的某种导数组合，使其结果等于 (4) 式。考察以下三项导数：

$$ \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} $$

$$ \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} + \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} $$

$$ -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = -\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 v}{\partial z \partial x} $$

将上述三式相加： $$ \text{左边} = \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} $$

$$ \text{右边} = \left( \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} + \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} \right) + \underbrace{\left( \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 v}{\partial z \partial x} \right)}_{0} + \underbrace{\left( \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x} \right)}_{0} $$

由于混合偏导数相等，含 $v$ 和 $w$ 的项相互抵消，只剩下 $u$ 的项：

$$ \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = 2 \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} $$

对上式两边同时关于 $x$ 求导：

$$ \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} $$

对比 (4) 式，得证：

$$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$

利用轮换下标法，可得另外两个方程：

$$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$

$$ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) $$

至此，6 个变形协调方程全部得证。

在单连通域内，满足这 6 个方程是应变分量能够积分为连续位移场的充分必要条件。

如果使用张量记法，上述 6 个方程可以紧凑地写为一个方程（圣维南张量方程）：

$$ \epsilon_{ij,kl} + \epsilon_{kl,ij} - \epsilon_{ik,jl} - \epsilon_{jl,ik} = 0 $$

或者使用置换符号（Levi-Civita symbol）表示为旋度的旋度为零： $$ \nabla \times \boldsymbol{\varepsilon} \times \nabla = \mathbf{0} \quad \text{或} \quad e_{imp} e_{jnq} \varepsilon_{ij,pq} = 0 $$

类似于主应力，对于任意一点的应变状态，总存在三个相互垂直的方向，在这些方向上切应变为零，只有正应变。这些正应变称为主应变，分别记为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$（按代数值大小排序）。

主应变是以下三次方程（特征方程）的根：

$$ \varepsilon^3 - I_1 \varepsilon^2 + I_2 \varepsilon - I_3 = 0 $$

其中 $I_1, I_2, I_3$ 为应变不变量（无论坐标系如何旋转，这些值不变）：

• 第一不变量 (体积应变)：

$$ I_1 = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$

• 第二不变量：

$$ I_2 = \varepsilon_x \varepsilon_y + \varepsilon_y \varepsilon_z + \varepsilon_z \varepsilon_x - (\varepsilon_{xy}^2 + \varepsilon_{yz}^2 + \varepsilon_{zx}^2) $$

• 第三不变量：

$$ I_3 = \det(\varepsilon_{ij}) $$

最大切应变发生在与主应变方向成 $45^\circ$ 的面上：

$$ \gamma_{max} = \pm (\varepsilon_1 - \varepsilon_3) $$

应变状态也可以用图解法表示，即应变莫尔圆。 其构造方法与应力莫尔圆类似，但需注意坐标轴的定义：

• 横轴：正应变 $\varepsilon$
• 纵轴：半切应变 $\frac{\gamma}{2}$ (或 $\varepsilon_{xy}$)

记忆口诀： 应力圆用 $\tau$，应变圆用 $\gamma/2$。