广义胡克定律是描述弹性体在比例极限内，应力与应变之间线性关系的物理方程。它是弹性力学中最基本的本构方程。
这是广义胡克定律最常见的形式，表达了应变分量如何由应力分量决定。
常规形式 (Engineering Notation): 根据叠加原理，单向受力引起的形变叠加即可得到三向受力状态下的胡克定律：
$$ \begin{cases} \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z)] \\ \varepsilon_y = \frac{1}{E} [\sigma_y - \nu (\sigma_x + \sigma_z)] \\ \varepsilon_z = \frac{1}{E} [\sigma_z - \nu (\sigma_x + \sigma_y)] \end{cases} \quad \begin{cases} \gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{G} \\ \gamma_{zx} = \frac{\tau_{zx}}{G} \\ \gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G} \end{cases} $$
其中：
张量形式 (Tensor Notation): 使用双下标表示法（如 $\sigma_{xx}$ 代替 $\sigma_x$），方程形式如下：
$$ \begin{cases} \varepsilon_{xx} = \frac{1}{E} [\sigma_{xx} - \nu (\sigma_{yy} + \sigma_{zz})] \\ \varepsilon_{yy} = \frac{1}{E} [\sigma_{yy} - \nu (\sigma_{xx} + \sigma_{zz})] \\ \varepsilon_{zz} = \frac{1}{E} [\sigma_{zz} - \nu (\sigma_{xx} + \sigma_{yy})] \end{cases} \quad \begin{cases} \varepsilon_{yz} = \frac{1+\nu}{E} \sigma_{yz} \\ \varepsilon_{zx} = \frac{1+\nu}{E} \sigma_{zx} \\ \varepsilon_{xy} = \frac{1+\nu}{E} \sigma_{xy} \end{cases} $$
注意：在张量形式中，切应变通常定义为 $\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\gamma_{ij}$，因此系数中出现了 $1+\nu$ 而不是直接除以 $G$（因为 $\frac{1}{G} = \frac{2(1+\nu)}{E}$）。
在有限元分析等应用中，我们常需要用应变来表示应力。以下是从应变形式推导应力形式的详细过程。
第一步：引入体积应变与体积应力
将应变形式的三个正应变方程相加：
$$ \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z = \frac{1}{E} [(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) - 2\nu(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)] $$
令 体积应变 $\theta$ (或 $e$) 和 体积应力 (第一应力不变量) $\Theta$ 分别为：
$$ \theta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$
$$ \Theta = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z $$
代入上式整理得：
$$ \theta = \frac{1-2\nu}{E} \Theta \quad \Rightarrow \quad \Theta = \frac{E}{1-2\nu}\theta \quad \dots (1) $$
第二步：消元求解 $\sigma_x$
取 $\varepsilon_x$ 的原始方程：
$$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z)] $$
利用 $\sigma_y + \sigma_z = \Theta - \sigma_x$ 进行代换：
$$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\Theta - \sigma_x)] = \frac{1}{E} [(1+\nu)\sigma_x - \nu\Theta] $$
将 (1) 式中的 $\Theta$ 代入：
$$ \varepsilon_x = \frac{1+\nu}{E}\sigma_x - \frac{\nu}{E} \cdot \frac{E}{1-2\nu}\theta $$
第三步：解出 $\sigma_x$
整理上述方程：
$$ \frac{1+\nu}{E}\sigma_x = \varepsilon_x + \frac{\nu}{1-2\nu}\theta $$
$$ \sigma_x = \frac{E}{1+\nu}\varepsilon_x + \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\theta $$
同理可得 $\sigma_y, \sigma_z$。切应力与切应变关系直接由 $\tau = G\gamma$ 得到。
根据上述推导，我们可以写出两种常见的应力形式表达。
拉梅常数形式 (Lamé Constants Form):
为了简化公式，引入拉梅常数 $\lambda$ 和 $\mu$：
$$ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \quad \mu = G = \frac{E}{2(1+\nu)} $$
则本构方程简化为：
$$ \begin{cases} \sigma_x = \lambda\theta + 2\mu\varepsilon_x \\ \sigma_y = \lambda\theta + 2\mu\varepsilon_y \\ \sigma_z = \lambda\theta + 2\mu\varepsilon_z \end{cases} \quad \begin{cases} \tau_{xy} = \mu\gamma_{xy} \\ \tau_{yz} = \mu\gamma_{yz} \\ \tau_{zx} = \mu\gamma_{zx} \end{cases} $$
常规参数形式:
直接使用 $E$ 和 $\nu$ 表示：
$$ \sigma_x = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_x + \nu(\varepsilon_y + \varepsilon_z)] $$
同理：
$$ \sigma_y = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_y + \nu(\varepsilon_x + \varepsilon_z)] $$
$$ \sigma_z = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_z + \nu(\varepsilon_x + \varepsilon_y)] $$
物理意义：
取微小六面体单元，其原始体积为 $V_0 = dxdydz$。变形后的体积 $V$ 略去高阶微量后，体积的变化率（体积应变）为：
$$ \theta = \frac{V - V_0}{V_0} \approx \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$
$\theta$ 代表了物体体积的相对变化。对于不可压缩材料（如橡胶），$\nu \approx 0.5$，此时 $\theta \approx 0$。
体积模量 (Bulk Modulus):
定义 平均应力 (Mean Stress) $\sigma_m$ 为三个正应力的平均值：
$$ \sigma_m = \frac{1}{3}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) = \frac{1}{3}\Theta $$
回顾推导过程中的公式 (1)：
$$ \theta = \frac{1-2\nu}{E} \Theta = \frac{1-2\nu}{E} (3\sigma_m) $$
整理得到平均应力与体积应变的关系：
$$ \sigma_m = \frac{E}{3(1-2\nu)} \theta $$
定义 体积模量 $K$ 为：
$$ K = \frac{\sigma_m}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} $$
即：
$$ \sigma_m = K\theta $$
扩展知识：热应力 (Thermal Stress)
如果考虑温度变化 $\Delta T$，广义胡克定律需要修正。由于热胀冷缩产生的正应变（各向同性）为 $\alpha \Delta T$，修正后的应变形式为：
$$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z)] + \alpha \Delta T $$
其中 $\alpha$ 为线性热膨胀系数。