第十二章 Sturm-Liouville边值问题

定义12.1.1（Sturm-Liouville问题）

二阶线性微分方程的Sturm-Liouville（S-L）形式为： $$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + [\lambda w(x) - q(x)]y = 0, \quad a < x < b$$

其中：

1. $p(x) > 0$（通常称为权函数或系数函数）
2. $w(x) > 0$（权函数）
3. $q(x) \geq 0$（势函数）
4. $\lambda$ 为参数（特征值）

配合边界条件（如 $y(a) = y(b) = 0$ 或周期性条件），构成S-L边值问题。

例12.1：将Bessel方程化为S-L形式 $$x^2y'' + xy' + (\lambda x^2 - n^2)y = 0$$

除以 $x$：$xy'' + y' + (\lambda x - \frac{n^2}{x})y = 0$

即：$\frac{d}{dx}\left[x\frac{dy}{dx}\right] + (\lambda x - \frac{n^2}{x})y = 0$

故 $p(x) = x$，$w(x) = x$，$q(x) = \frac{n^2}{x}$。

定义12.2.1（正则S-L问题）

若 $p, p', q, w$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $p(x) > 0$，$w(x) > 0$ 在 $[a,b]$ 上成立，则称为正则Sturm-Liouville问题。

定义12.2.2（奇异S-L问题）

若 $p(x)$ 或 $w(x)$ 在端点处为零或无穷，或区间为无穷，则称为奇异Sturm-Liouville问题。

例12.2：Legendre方程 $$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + \lambda y = 0, \quad -1 < x < 1$$

在 $x = \pm 1$ 处 $p(x) = 0$，为奇异S-L问题。

定理12.3.1（特征值性质）

对于正则S-L问题，特征值和特征函数具有以下性质：

1. 特征值存在性：存在可数个特征值 $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots$，且 $\lambda_n \to +\infty$。

2. 特征值实性：所有特征值都是实数。

3. 特征函数正交性：对应不同特征值 $\lambda_m \neq \lambda_n$ 的特征函数 $y_m, y_n$ 关于权函数 $w$ 正交： $$\int_a^b y_m(x)y_n(x)w(x)dx = 0$$

4. 特征函数完备性：特征函数系 $\{y_n\}$ 在 $L^2_w[a,b]$ 中完备。

定理12.3.2（特征值振荡性）

第 $n$ 个特征函数 $y_n$ 在 $(a,b)$ 内有恰好 $n-1$ 个零点。

定义12.4.1（分离边界条件）

$$\alpha_1 y(a) + \alpha_2 y'(a) = 0, \quad \beta_1 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0$$

其中 $(\alpha_1, \alpha_2) \neq (0,0)$，$(\beta_1, \beta_2) \neq (0,0)$。

特殊情形：

1. Dirichlet条件：$y(a) = y(b) = 0$
2. Neumann条件：$y'(a) = y'(b) = 0$
3. 混合条件：$y(a) = y'(b) = 0$ 等

定义12.4.2（周期性边界条件）

$$y(a) = y(b), \quad y'(a) = y'(b)$$

此时 $p(a) = p(b)$。

对于S-L问题，可定义微分算子： $$Ly = -\frac{1}{w}\frac{d}{dx}\left[p\frac{dy}{dx}\right] + \frac{q}{w}y$$

则方程为 $Ly = \lambda y$。

定义12.5.1（Green函数）

若 $\lambda = 0$ 不是特征值，则存在Green函数 $G(x,\xi)$ 使得边值问题 $Ly = f$ 的解为： $$y(x) = \int_a^b G(x,\xi)f(\xi)w(\xi)d\xi$$

Green函数性质： 1. $G$ 连续，$G(x,\xi) = G(\xi,x)$（对称性） 2. 对 $x \neq \xi$，满足齐次方程 $LG = 0$ 3. 在 $x = \xi$ 处满足跃变条件：$\left[p\frac{\partial G}{\partial x}\right]_{\xi^-}^{\xi^+} = -1$

定理12.6.1（Rayleigh商）

第一特征值满足： $$\lambda_1 = \min_{y \neq 0} \frac{\int_a^b [p(y')^2 + qy^2]dx}{\int_a^b wy^2 dx}$$

其中 $y$ 满足边界条件。

定理12.6.2（比较定理）

若在 $[a,b]$ 上 $q_1(x) \leq q_2(x)$，则对应的特征值满足 $\lambda_n^{(1)} \leq \lambda_n^{(2)}$。

例12.3：求解S-L问题 $$y'' + \lambda y = 0, \quad y(0) = y(\pi) = 0$$

*解*：

1. $\lambda < 0$：令 $\lambda = -\mu^2$，通解 $y = Ae^{\mu x} + Be^{-\mu x}$
2. $y(0) = A + B = 0$
3. $y(\pi) = Ae^{\mu\pi} + Be^{-\mu\pi} = 0$
4. 仅有零解，故无负特征值

1. $\lambda = 0$：$y = Ax + B$，由边界条件得 $A = B = 0$

1. $\lambda > 0$：令 $\lambda = \mu^2$，$y = A\cos(\mu x) + B\sin(\mu x)$
2. $y(0) = A = 0$
3. $y(\pi) = B\sin(\mu\pi) = 0$，故 $\mu = n$，$n = 1, 2, 3, \ldots$

特征值：$\lambda_n = n^2$，$n = 1, 2, 3, \ldots$

特征函数：$y_n = \sin(nx)$

正交性：$\int_0^\pi \sin(mx)\sin(nx)dx = 0$（$m \neq n$）

例12.4：求解周期S-L问题 $$y'' + \lambda y = 0, \quad y(-\pi) = y(\pi), \quad y'(-\pi) = y'(\pi)$$

*解*：

1. $\lambda = 0$：$y = A + Bx$，周期性要求 $B = 0$，$\lambda_0 = 0$，$y_0 = 1$

1. $\lambda = n^2 > 0$：$y = A\cos(nx) + B\sin(nx)$
2. 自动满足周期性
3. 每个特征值对应两个特征函数：$\cos(nx)$ 和 $\sin(nx)$

特征值：$\lambda_n = n^2$，$n = 0, 1, 2, \ldots$

特征函数：$y_0 = 1$，$y_{2n-1} = \cos(nx)$，$y_{2n} = \sin(nx)$

S-L理论是分离变量法求解偏微分方程的数学基础。

例12.5：热传导方程 $$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad u(0,t) = u(\pi,t) = 0$$

分离变量 $u = X(x)T(t)$，得 $X'' + \lambda X = 0$，即上述S-L问题。

解为：$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty c_n e^{-n^2t}\sin(nx)$

习题12.1：将方程 $y'' - 2xy' + \lambda y = 0$ 化为S-L形式。

习题12.2：求解S-L问题：$y'' + \lambda y = 0$，$y'(0) = y'(\pi) = 0$。求特征值和特征函数，并验证正交性。

习题12.3：证明Chebyshev方程 $(1-x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ 是S-L问题，确定 $p, w, q$。

习题12.4：用Rayleigh商估计 $y'' + \lambda y = 0$，$y(0) = y(1) = 0$ 的第一特征值。

习题12.5：对于带参数 $\mu > 0$ 的S-L问题： $$\frac{d}{dx}\left[x\frac{dy}{dx}\right] + \left(\mu x - \frac{n^2}{x}\right)y = 0, \quad y(0) \text{ 有界}, \, y(1) = 0$$ 证明特征值为Bessel函数 $J_n(\sqrt{\mu})$ 的正零点。